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Über einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen. (German) JFM 52.0262.01

Verf. läßt die von Bohr bei der Entwicklung seiner Theorie der fastperiodischen Funktionen vorausgesetzte Stetigkeit von \(f(x)\) fallen und gibtfolgende drei Verallgemeinerungen:
I) \(f (x)\) sei auf \((-\infty, + \infty)\) fast überall definiert, endlich und meßbar. \(f (x) \) heiße fastperiodisch, wenn es zu gegebenem \(\varepsilon < 1\) und \(d > 0\) eine Länge \(l\) derart gibt, daß in jedem Intervall dieser Länge mindestens eine Zahl \(\tau\) existiert, so daß die Ungleichung \[ |f(x + \tau) - f(x)| \leqq \varepsilon \] für alle \(x\) gilt mit Ausnahme einer Menge \(\{x\}\) von mittlerer Dichte \(< \varepsilon\) in jedem Intervall der Länge \(d\).
II) \(f(x)\) sei auf \((- \infty, + \infty )\) fast überall definiert und summierbar. \(f (x)\) heiße fastperiodisch, wenn es zu gegebenem \(\varepsilon > 0\) und \(d > 0\) eine Länge \(l\) derart gibt, daß in jedem Intervall der Länge \(l\) mindestens eine “Verschiebungszahl” \(\tau\) derart liegt, daß bei beliebigem \(\alpha\) \[ \frac 1d \int_\alpha^{\alpha + d} |f(x + \tau) - f(x)| dx \leqq \varepsilon \] ist.
III) \(f (x)\) sei auf \((- \infty, + \infty )\) fast überall definiert und in jedem endlichen Intervall quadratisch summierbar. \(f(x)\) heiße fastperiodisch, wenn es zu gegebenem \(\varepsilon > 0\) und \(d > 0\) eine Länge \(l\) derart gibt, daß in jedem Intervall der Länge \(l\) eine Verschiebungszahl \(\tau\) derart liegt, daß bei beliebigem \(\alpha\) \[ \frac 1d \int_\alpha^{\alpha + d} |f(x + \tau) - f(x)|^2 dx \leqq \varepsilon \] ist.
Das Maß für die Abweichung von \(f(x + \tau)\) von \(f(x)\) wird also den Eigenschaften von \(f(x)\) angepaßt.
In allen drei Fällen bleibt die Invarianz des Begriffes der Fastperiodizität gegenüber der Addition erhalten. Weiter wird gezeigt, daß, wenn der Rest \(\sum\limits_{k=n}^{n+m} f_k (x)\) einer Reihe von fastperiodischen Funktionen \(f_k (x)\) jeweils im Sinn der in I-III gegebenen Definitionen beliebig klein gemacht werden kann, die Reihe eine fastperiodische Funktion in analogem Sinn bestimmt.
In den Fällen (II) und (III) existiert der Mittelwert \[ M(f) = \lim_{T \to \infty} \frac 1T \int_0^T f(x) \, dx. \] Weiter ist wie bei stetigen Funktionen \(M \left(fe^{-i\lambda x}\right)\) nur für abzählbar viele \(\lambda\) von Null verschieden, so daß also \(f (x)\) eine Fourierreihe zugeordnet werden kann.
Im Fall (III) endlich bleibt noch die Vollständigkeitsrelation \[ M |f|^2 = \sum |A_n|^2 \tag{1} \] erhalten. Diese wird dadurch auf den Fall der stetigen Funktionen zurückgeführt, daß \(\varphi_c (x) = \frac 1c \int\limits_x^{x+c} f(y)\, dy\) im ursprünglichen Bohrschen Sinn fastperiodisch ist. Aus \[ M(|\varphi_c (x)|^2) = \sum |B_n|^2, \] wo \(B_n\) die Fourierkoeffizienten von \(\varphi_c (x)\) sind, wird (1) durch den Grenzübergang \(c \to 0\) gewonnen.

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