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Sur les singularités des séries de fractions rationnelles. (French) JFM 52.0301.01

Die Reihe \[ \sum_1^\infty\frac{A_\nu}{z-\alpha_\nu}\,, \tag{\text{*}} \] worin \(z\) eine komplexe Veränderliche, \(A_\nu\) und \(\alpha_\nu\) komplexe Zahlen bedeuten, konvergiert unter der Voraussetzung der Konvergenz der Reihe \(\sum\limits_1^\infty | A_\nu|\) in jedem Gebiete \(\mathfrak G\) der komplexen \(z\)-Ebene, das keinen Punkt \(\alpha_\nu\) enthält, gegen eine analytische Funktion \(f (z)\). Hier entsteht naturgemäß das Problem, ob die Pole \(\alpha_\nu\) der einzelnen Glieder von (*) auch Singularitäten von \(f(z)\) sein müssen. Die nähere Untersuchung dieser Frage führt den Verf. zu sehr bemerkenswerten Resultaten von großer Allgemeinheit.
Ist \(\alpha_\nu\) äußerer Punkt von \(\mathfrak G\), so braucht \(f(z)\) dort bekanntlich (vgl. Wolff, 1921; F. d. M. 48, 320 (JFM 48.0320.*)) keine Singularität zu besitzen; Verf. betrachtet nun den schwierigen Fall, in welchem der zu untersuchende Punkt \(\alpha_\mu\) ein Randpunkt von \(\mathfrak G\) ist. Wenn \(\alpha_\mu\) der Peripherie eines Kreises angehört, dessen Inneres in \(\mathfrak G\) liegt, so besitzt \(f (z)\) (und zwar der durch (*) erklärte Zweig) nach Poincaré (Acta Soc. sc. Fenn. 12 (1883), 341-350; F. d. M. 15, 341 (JFM 15.0341.*)) im Punkte \(\alpha_\mu\) eine Singularität. Dies muß, wie Verf. u. a. zeigt, bereits eintreten, wenn \(\alpha_\mu\) ein erreichbarer Randpunkt von \(\mathfrak G\) ist. Der Beweis läßt sich unter der Annahme der Konvergenz von \(\sum |A_m| \log |A_m|\) erheblich vereinfachen, wird aber auch unter der eingangs genannten schwächeren Voraussetzung vollständig durchgeführt. Ist \(\alpha_\mu\) unerreichbar, so braucht \(f(z)\) in \(\alpha_\mu\) in keinem Zweige eine Singularität zu besitzen. Verf. konstruiert Beispiele mit dieser und weiteren interessanten Eigenschaften.

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References:

[1] T. Carleman, Sur les séries \(\Sigma \tfrac{{A_r }}{{z - \alpha _r }}\) [Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, t. 174 (1er semestre 1922), pp. 588–591].
[2] J. Wolff, Sur les séries \(\Sigma \tfrac{{A_r }}{{z - \alpha _r }}\) [Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris, t. 173 (2e semestre 1921), pp. 1056–1058 et pp. 1327–1328].
[3] A. Denjoy,Sur les séries de fractions rationnelles (Bulletin de la Société Mathématique de France, t. LII, 1924, p. 418–434). · JFM 50.0241.03 · doi:10.24033/bsmf.1061
[4] H. Poincaré,Sur les fonctions à espaces lacunaires (Acta Societatis Scientiarum Fennicae, t. XII, 1883, pp. 341–350);E. Goursat,Sur les fonctions à espaces lacunaires (Bulletin des Sciences Mathématiques, 2e série, t. 11, 1887, pp. 109 114).
[5] On sait que la courbe deJordan la plus généraleC possède une aire propre positiveA. Autrement dit, le plan étant subdivisé par un quadrillage de côté {\(\delta\)}, l’aire totale des carrés contenant au moins un point deC surpasse toujoursA et tend versA quand {\(\delta\)} tend vers o.
[6] Cette définition est immédiatement échangeable avec la définition classique (Goursat,Cours d’Analyse Mathématique, t. II, p. 244–245): ({\(\cdot\)}) (x) est régulier ou singulier au pointa, selon qu’il existe ou non un point {\(\beta\)}’ de ({\(\beta\)}a) tel que le cercle d’holomorphie de {\(\omega\)}(x) autour de {\(\beta\)}’ contient à son intérieura etla totalité de l’arc ({\(\beta\)}’a) de ({\(\beta\)}a).
[7] On trouvera les raisonnements établissant ces propriétés, par exemple dans ma note:Nouvelle démonstration du théorème de Jordan sur les courbes planes (Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam Verslag v. d. g. v. d. afdeeling Nateurkunde XXVII, 1918, p. 146–151).
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