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Sur une expression de la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann. (French) JFM 52.0338.02
Verf. geht aus von den Koeffizienten \(S_n\) in der Entwicklung \[ (1+x)^{-s}=1-S_1x-S_2\,\frac{x(1-x)}{2\,!} S_2\,\frac{x(1-x)\,(2-x)}{3\,!}-\ldots \] und ihrer Darstellung in der Form \[ S_n=1-C_n^12^{-s}+C_n^2 3^{-s}-\ldots+(-1)^n n^{-s}\,. \] Setzt man noch \[ P_{n+1}=\int\limits_{0}^{1}\frac{x(1-x)\cdot\cdot\,.\, (n-1-x)}{n\,!}\,dx, \] so ergibt sich folgende Entwicklung der Zetafunktion: \[ \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+p_2+S_1p_3+S_2 p_4+\cdots. \tag{*} \] Die Konvergenz dieser Reihenentwicklung beschränkt sich nicht mehr auf \(s-1>0\). Aus (*) folgen ferner der Wert von \(\zeta(s)\) an der Stelle \(s=0\), die Lage der trivialen Nullstellen, der Zusammenhang mit den Bernoullischen Zahlen an ganzen ungeraden negativen reellen Stellen auf der Achse, der Zusammenhang mit der Eulerschen Konstanten und der Wert von \(\zeta'(0)\).
Eine sich aus (*) ergebende Darstellung für (\(s-1)\,\zeta\,(s)\) liefert zum Beispiel Ausdrücke für die Bernoullischen Zahlen, sowie eine Produktdarstellung für \(e^{-C}\) (\(C\) Eulersche Konstante). Ferner lassen sich die Ergebnisse auf die Funktion \[ Z(x,s)=(1+x)^{-s}+(2+x)^{-s}+\ldots \] ausdehnen.

MSC:
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
40A25 Approximation to limiting values (summation of series, etc.)
11Y60 Evaluation of number-theoretic constants
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Full Text: Gallica