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Über die Unität der Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung. (German) JFM 52.0438.02

Verf. beweist im Anschluß an die Methode der Ober- und Unterfunktionen (O. Perron, Math. Ann. 76 (1915), 471-484; F. d. M. 46, 469 (JFM 46.0469.*)) folgende notwendige und hinreichende Bedingung für die Einzigkeit des durch den Punkt \((x_0, y_0)\) gehenden Integrales der Differentialgleichung \(y'=f(x,y)\), deren rechte Seite etwa im Streifen \(x_0\leqq x\leqq X\), \(-\infty <y<\infty \) stetig ist: Es muß zu jeder positiven Zahl \(\varepsilon \) ein Paar stetige, derivierbare Funktionen oder insbesondere ein Paar Polygonzüge oder auch ein Paar Polynome \(\psi (x)\), \(\varphi (x)\) geben, für welche \[ \begin{gathered} 0<\psi (x)-\varphi (x)<\varepsilon \text{ \;in \;} \langle x_0,X\rangle, \\ D_\pm \psi (x)>f(x,\psi (x)),\;\;D_\pm \varphi (x)<f(x,\varphi (x)) \text{ \;in \;} \langle x_0,X\rangle,\\ \varphi (x_0)\leqq y_0\leqq \psi (x_0). \end{gathered} \]
Mittels dieser Bedingung werden die Eindeutigkeitssätze von Lipschitz und Osgood neu bewiesen und das folgende weitere Eindeutigkeitskriterium hergeleitet: Ist \(f(x,y)\) eine beständig abnehmende Funktion von \(y\), so gibt es im Intervall \(\langle x_0,X\rangle \) nur eine einzige Integralkurve durch den Punkt \((x_0, y_0)\).

Citations:

JFM 46.0469.*
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