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On the representation of numbers in the form \(ax^2+by^2+cz^2+dt^2\). (English) JFM 53.0155.01

Die Frage der Darstellbarkeit einer positiven Zahl \(n\) in der Form \(a_1 x_1^2 + \cdots + a_s x_s^2\) läßt sich, wie der Verfasser in seiner Dissertation (Groningen 1924; JFM 50.0095.05) gezeigt hat, unmittelbar mit der Hardy-Littlewoodschen Methode in Angriff nehmen. Doch erhält man zunächst nur für \(s\geq 5\) Ergebnisse, während dagegen für \(s = 4\) das Fehlerglied von derselben Größenordnung ausfällt wie das Hauptglied. In der vorliegenden Arbeit gelingt es nun dem Verfasser, für die Anzahl \(r(n)\) der Darstellungen einer positiven ganzen Zahl \(n\) in der Form \[ ax^2 + by^2 + cz^2 + dt^2 \tag{1} \] zu beweisen \[ r(n)= \frac {\pi^2}{\sqrt{ab\, cd}}\,n S(n) + O\left(n^{\tfrac{17}{18} + \varepsilon} \right), \tag{2} \] während die ursprüngliche Methode ein Fehlerglied \(O\left(n^{1 + \varepsilon} \right)\) ergeben hatte. Diese Verbesserung erzielt der Verf. durch eine methodische Verfeinerung, die darin besteht, daß die bei der Integration über die einzelnen Fareybogen gemachten Fehler nicht einzeln in ihren absoluten Beträgen addiert werden, sondern diejenigen, die zu Fareybogen gleichen Nenners \(q\) gehören, zunächst gesammelt werden und von dieser Summe erst der absolute Betrag gebildet und über alle \(q\leq N\) summiert wird, wo \(N\) die Ordnung der Fareyzerschneidung ist.
Dabei ist noch eine Schwierigkeit zu bemerken: die Fareybogen gleichen Nenners \(q\), die durch \[ w \;= \exp \left(-\frac 1n + \frac {2\pi ip}q + i\vartheta \right) \text{ mit } -\frac{2\pi}{q(q+q^{\prime\prime})} \leqq \vartheta \leqq \frac{2\pi}{q(q+q^{\prime})} \] angegeben werden, (wo \(\dfrac{p^{\prime\prime}}{q^{\prime\prime}}\), \(\dfrac{p}{q}\), \(\dfrac{p^\prime}{q^\prime}\) benachbarte Fareybrüche in dieser Reihenfolge sind) sind nicht kongruent. Sie haben aber das Stück \(|\vartheta| \leq \dfrac{2\pi}{q(q+N)}\) gemeinsam. Es kommt dann alles auf den folgenden Hilfssatz an (Lemma 5 der vorliegenden Arbeit):
“Es seien \(N\), \(\mu\), \(q\), \(\lambda\), \(\varLambda\) ganze positive Zahlen, \(u\), \(v\) ganz und \(0 < \mu \leqq q\), \(\varLambda | q\). Ferner sei zu jedem \(p\) mit \((p, q) = 1\) die Zahl \(p_1\) so bestimmt, daß \(0 < p_1 \leq q\), \(p_1 + p' + N \equiv 0 \bmod q\) mit \(pp' \equiv 1\bmod q\) ist. Dann ist \[ \sum_{_{\substack{ p, p \equiv \lambda \pmod{\varLambda} \\ p_1 \leq \mu}}} \exp \left(\frac{2\pi iup}{q} + \frac{2\pi ivp}{q}\right) = O\left(q^{\tfrac 78 + \varepsilon} (u, q)^{\tfrac 14}\right) \tag{3} \] gleichmäßig in allen vorkommenden Parametern (außer \(\varepsilon\)).”
Durch die Heranziehung dieses Hilfssatzes gelingt die obenerwähnte Zusammenfassung von Fehlergliedern, die zu gleichem Nenner \(q\) gehören. Die Rechnung ergibt das Resultat (2). Die singuläre Reihe ist hierin \[ S(n) = \sum_{q=1}^\infty A_q, \quad A_q = q^{-4} \sum_{_{\substack{ p \bmod{q} \\ (p, q) = 1 }}} S_{ap, q} S_{bp, q} S_{cp, q} S_{dp, q} e^{-\tfrac{2\pi inp}{q}}, \quad A_1 = 1, \] mit \(S_{l, q} \equiv \sum\limits_{i=0}^{q-1} \exp \dfrac{2\pi ilj^2}{q}\).
Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit den zahlentheoretischen Konsequenzen der Gleichung (2). In §4 werden die Fälle festgestellt, in denen \[ S(n) > \frac{K}{\log\log n} \] für alle hinreichend großen \(n\) ist. In diesen Fällen ist offenbar jedes hinreichend große \(n\) in der Form (1) darstellbar. Dann bleiben noch die Fälle übrig, in denen \(S(n)\) für unendlich viele \(n\) verschwindet und die, in denen \(S(n)\) für eine gewisse Teilfolge der natürlichen Zahlen \(n\) stärker gegen Null geht als \(n^{-\tfrac 1{18}}\). Da die Formel (2) hier keine Auskünfte mehr gibt, so werden diese Fälle in §5 rein zahlentheoretisch diskutiert. Es stellt sich heraus, daß hier nur sowohl Fälle vorkommen, in denen alle hinreichend großen Zahlen durch die Form (1) dargestellt werden, als auch solche, in denen unendlich viele Zahlen nicht dargestellt werden können. Es ist bemerkenswert, daß die Form \(x^2 + y^2 + z^2 + t^2\), die bekanntlich alle Zahlen darstellt, durch die Gleichung (2) nicht erfaßt wird, sondern daß hierbei \(S(n)\) für eine gewisse Teilfolge der \(n\) wie \(n^{-1}\) gegen Null geht. Es ist dem Verfasser gelungen, das, was er das Problem \(P\) nennt, nämlich die Entscheidung, ob eine Form alle hinreichend großen Zahlen darstellt oder nicht, mit Ausnahme ganz weniger spezieller Formen zu erledigen.
Auf die analytische Untersuchung ist der Verf. übrigens inzwischen zurückgekommen [Abh. Hamb. 5, 337–352 (1927; JFM 53.0346.01)]. Er beweist hier eine viel allgemeinere Formel als (2), die diese als Spezialfall umfaßt, sogar mit dem Fehlerglied \(O(x^{\frac 78} + \varepsilon)\), und beweist auch zugleich die für seine Methode grundlegende Formel (3) mit dem besseren Fehlerglied \(O(q^{\frac 34 + \varepsilon} (\mu, q)^{\frac 14})\).

MSC:

11P05 Waring’s problem and variants
11P55 Applications of the Hardy-Littlewood method
11E25 Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
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References:

[1] For the litterature on this subject I refer to the article ofBohr-Cramér (Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie) in the ’Enzyklopaedie der Mathematischen Wissenschaften’.
[2] ’Over het splitsen van geheele positieve getallen in een som van kwadraten’, Groningen, 1924. · JFM 50.0095.05
[3] L. E. Dickson, ’History of the theory of numbers’, Vol. III (1923), Ch. X. · JFM 49.0100.12
[4] In my paper ’On the representation of numbers in the formax 2+by 2+cz 2+dt 2,Proc. London Math. Soc., 25 (1926), 143–173, I have proved some ofLiouville’s formulae and some new formulae by means of methods due toHardy andMordell.
[5] Proc. Camb. Phil. Soc., 19 (1917), 11–21.
[6] A new solution of Waring’s problem,Quarterly J. of pure and applied math., vol. 48 (1919), p. 272–293. · JFM 47.0114.01
[7] Two representationsn=ax 1 2 +by 1 2 +cz 1 2 +dt 1 2 andn=ax 2 2 +by 2 2 +cz 2 2 +dt 2 2 will be considered as the same if and only ifx 1=x 2,y 1=y 2,z 1=z 2,t 1=t 2.
[8] ’On certain trigonometrical sums and their applications in the theory of numbers’,Trans. Camb. Phil. Soc. 22 (1918), 259–276. The formula (1. 56) has already been given byJ. C. Kluyver, ’Eenige formules aangaande de getallen kleiner dann en ondeelbaar metn’,Versl. Kon. Akad. v. Wetensch., Amsterdam, 1906.
[9] Of course thep 1 occurring here and thep 1 of the lemma’s 2, 2*, 3* have quite a different meaning.
[10] It can be proved as follows, thatv 1,V 1 exist. Consider the system of numbersv 1 A 1 2 +V 1 1 2{\(\xi\)}1 , ifv 1 runs through all numbers, less than and prime to 1 {\(\xi\)}1 andV 1 through all numbers, less than and prime toA 1. Then these numbers are all incongruent modq and they are prime toq. Further the system consists of( 1 {\(\xi\)}1 )(A 1)=(q) numbers. Therefore one of them must be (modq).
[11] We denote by (M) the number which is (modq) and for which 0M)<q.
[12] See footnote1 on p. 421. Of course thep 1 occurring here and thep 1 of the lemma’s 2, 2*, 3* have quite a different meaning.
[13] If{\(\lambda\)} j (mod), thenS would be 0.
[14] Of course it is also possible, thatS(n j ) tends to zero, but not as quickly as 1/n j , ifn j . But the disenssion of the singular series shows, that in this case, we can always find another sequence, for which the condition 3{\(\deg\)} holds.
[15] S. Ramanujan, On the expression of a number in the formax 2+by 2+cz 2+dt 2, Proc. Camb. Phil. Soc. 19 (1917), footnote on p. 14. · JFM 46.0240.01
[16] Comptes Rendus, Paris, 170 (1920), 354.
[17] Meditationes algebraicae, Cambridge, ed. 3, 1782, 349.
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