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Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionelles linéaires. (French) JFM 53.0259.03
W. H. Young bewies: Wenn für die positive ungerade ganze Zahl \(p\) die Reihe \[ \displaylines{ \rlap{\text{\indent (1)}}\hfill \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|a_n|^{1+ \frac 1p} \hfill } \] konvergiert, so ist \[ \displaylines{ \rlap{\text{\indent (2)}}\hfill \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n e^{inx} \hfill } \] die Fourierreihe einer Funktion \(f (x)\), und es ist \(|f(x)|^{1+p}\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar (Verallgemeinerung des Fischer-Riesz’schen Satzes), sowie die Umkehrung: Wenn (2) die Fourierreihe einer Funktion \(f(x)\) ist, und wenn für die positive ungerade ganze Zahl \(p\) die Funktion \(|f(x)^{1+p}|\) integrierbar ist, dann ist (1) konvergent (Verallgemeinerung der sog. Parsevalschen Gleichung).
F. Hausdorff (M. Z. 16 (1923), 163-169; F. d. M. 49, 200 (JFM 49.0200.*)) zeigte dasselbe für jedes reelle \(p > 1\), F. Riesz (M. Z. 18 (1923), 117-124; F. d. M. 49, 292 (JFM 49.0292.*)-293) für jedes reelle \(p > 1\) und für jedes beschränkte normierte Orthogonalsystem, an Stelle von \(e^{inx}\).
Verf. stützt sich zur Herleitung der genannten und weiterer Sätze auf eine Konvexitätseigenschaft, des Maximums \(M_{\alpha\beta}\) des Betrages der Bilinearform \[ A(x,y)=\sum_{\mu=1}^m\sum_{\nu=1}^na_{\mu\nu}x_\mu x_\nu \] unter der Nebenbedingung \(\sum_{\mu=1}^m|x_\mu|^{\frac 1\alpha}\leqq 1\), \(\sum_{\nu=1}^n|y_\nu|^{\frac 1\beta}\leqq 1\).
Mit Hilfe der Hölderschen Ungleichung ergibt sich: Es ist \(\log M_{\alpha\beta}\) im Dreieck \(\alpha\leqq 1\), \(\beta\leqq 1\), \(\alpha+\beta\geqq 1\) eine konvexe Funktion des Punktes \(\alpha\), \(\beta\). Das Ergebnis bleibt richtig, wenn die Nebenbedingung durch \(\sum_{\mu=1}^m \varrho_\mu |x_\mu|^{\frac 1\alpha}\leqq 1\), \(\sum_{\nu=1}^n \sigma_\nu |y_\nu|^{\frac 1\beta}\leqq 1\) mit beliebigen positiven \(\varrho_\mu\) und \(\sigma_\nu\) ersetzt wird, und bildet den Kern für die weiteren Untersuchungen.
Der Verf. betrachtet neben den Bilinearformen \(A(x, y)\) die zugehörigen linearen Transformationen und gelangt durch Grenzübergang zu Konvexitätseigenschaften eines gewissen Typus von linearen Funktionaloperationen. Spezialisierung liefert die obigen Sätze, ferner (nach einigen Modifikationen) die Analoga für Fourierintegrale (E. C. Titchmarch, Proceedings L. M. S. (2) 23 (1924), 279-287; F. d. M. 50, 201 (JFM 50.0201.*)) und Sätze des Verf. über die Konjugierten von Fourierschen Reihen.
(Siehe auch Abschn. IV, Kap. 7.)

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References:
[1] J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes,Acta math. t. 30 (1906), p. 175–193. · JFM 37.0422.02 · doi:10.1007/BF02418571
[2] Il en ressort queM\(\alpha\)\(\beta\) et toutes ses puissances à des exposants positifs sont aussi convexes.
[3] F. Hausdorff, Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen,Math. Zeitschr. t. 16 (1923), p. 163–169. On y trouve une liste des travaux relatifs deM. Young. · JFM 49.0200.01 · doi:10.1007/BF01175679
[4] F. Riesz, Über eine Verallgemeinerung der Parsevalschen Formel,Math. Zeitschr. t. 18 (1923), p. 117–124. · JFM 49.0292.03 · doi:10.1007/BF01192400
[5] O. Hölder, Ueber einen Mittelwerthssatz,Götting. Nachr. 1889, p. 38–47.Cf. aussiJensen,l. c. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes,Acta math. t. 30 (1906), p. 182.
[6] Jusqu’ici il aurait suffi de supposer que nos points se trouvent dans le carré 0, 0.
[7] Cf. pour un calcul analogueF. Hausdorff etF. Riesz,l. c. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes,Acta math. t. 30 (1906).
[8] Le raisonnement qui précède tient aussi sans passage à la limite pour les points \(\alpha\)+\(\beta\)=1, \(\alpha\)>0, \(\beta\)>0.
[9] l. c. Le raisonnement qui précède tient aussi sans passage à la limite pour les points \(\alpha\)+\(\beta\)=1, \(\alpha\)>0, \(\beta\)>0. p. 124. Nous reviendrons plus loin sur la généralisation du théorème de Parseval donnée dans le travail cité et dont le théorème du texte est un cas particulier.M. F. Riesz a observé que ce théorème particulier fournit de son côté, par un passage à la limite, la généralisation en question du théorème de Parseval.
[10] Pour ces faits et pour les indications bibliographiquesvoir entre autres:J. Radon, Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen,Sitzungsber. Akad. Wien, t. 122, Abt. II a, (1913), p. 1295–1438;T. H. Hildebrandt, On integrals related to and extensions of the Lebesgue integrals,Am. M. S. Bull. t. 24 (1918), p. 113–144, 177–202.C. de la Vallée Poussin, Les fonctions à variation bornée et les questions qui s’y rattachent,Bull. des Sciences Math. (2) t. 44 (1920), p. 267–296. Dans toutes les applications qui suivent, même dans celles concernant des séries, on pourrait s’arranger avec l’intégrale de Lebesgue, mais nous préférons exposer nos résultats dans le langage de l’intégrale plus générale de Stieltjes-Lebesgue, qui permet d’une manière naturelle de considérer séries et intégrales sous le même point de vue.
[11] A toutes les valeurs dey appartenant à un segment vertical, il correspond une seule valeur dex, l’abscisse de tous les points du segment; à une valeur dey appartenant à un segment horizontal, on fait correspondre une quelconque des abscisses des points du segment.
[12] La fonctionh(y) sera, en général, indéterminée pour les valeurs dey qui correspondent à des segments horizontaux; cependant ces valeurs formant un ensemble dénombrable, n’exerceront aucune influence sur l’intégrale, si l’on la prend au sens de Lebesgue.
[13] Dans la suite, pour simplifier l’écriture, nous supprimerons, en général, la variable et les limites d’intégration.
[14] Ce n’est que pour des raisons de rédaction que nous traitons les opérations bilinéaires avant d’avoir parlé des opérations linéaires.
[15] Evidemment, cela ne pourra arriver que dans les intervalles extrêmes.
[16] Dans la définition deM0\(\beta\), on aura à remplacer dans le second membre de (20) le facteur correspondant àf par la borne supérieure de |f| au sens de Lebesgue, c’est-à-dire par le plus petit nombre que |f| ne dépasse que dans un ensemble nul au plus. La définition deM\(\alpha\)0 se fait d’une manière analogue.
[17] Cf. p. ex.Radon,l. c. J. Radon, Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen,Sitzungsber. Akad. Wien, t. 122, (1913), p. 1371.
[18] Pour la signification deM 0\(\gamma\) * et deM \(\gamma\)0 * . la note 2 p. 477.
[19] Ce n’est que pour simplifier les énoncés que nous considérons ici les fonctionse 2k\(\pi\)ix au lieu des fonctionse kix .
[20] l. c. note 2F. Hausdorff, Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen,Math. Zeitschr. t. 16 (1923), p. 466. On y trouve une liste des travaux relatifs deM. Young. · JFM 49.0200.01
[21] l. c. note 3,F. Riesz, Über eine Verallgemeinerung der Parsevalschen Formel,Math. Zeitschr. t. 18 (1923), p. 466. · JFM 49.0292.03
[22] Dans le cas du théorème de Young-Hausdorff, on définira \(\psi\)(x) d’une manière analogue dans l’intervalle (, +. Ajoutons qu’on pourrait éviter les intégrales de Stieltjes-Lebesgue et se contenter d’intégrales ordinaires par le procédé un peu artificiel de poser, dans le cas du texte p. ex., \(\psi\)(x)=x, pour 0 etT(f)=C k pourk<k+1.
[23] \(\omega\) k (t) désigne la valeur conjuguée de\(\omega\) k (t).
[24] Cf. la note 2 p. 477 et la note 1 p. 480.
[25] E. C. Titchmarsh, A contribution to the theory of Fourier transofrms,Proc. London Math. Soc. (2), t. 23 (1924), p. 279–287. · JFM 50.0201.02 · doi:10.1112/plms/s2-23.1.279
[26] Au lieu de l’inégalité de Bessel on s’appuie sur un théorème connu deM. Plancherel.
[27] M. Riesz, 1) Les fonctions conjuguées et les séries de Fourier,Comptes rendus, t. 178 (28 avril 1924) p. 1464; 2) Sur les fonctions conjuguées, va paraître dans laMath. Zeitschr.
[28] Cf. aussiE. C. Titchmarsh, Reciprocal formulæ involving series and integrals,Math. Zeitschr. t. 25 (1926) p. 321–347. · JFM 52.0213.03 · doi:10.1007/BF01283842
[29] A. Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen,Inauguraldissertation, Giessen, 1923. · JFM 49.0204.02
[30] l. c. A. Plessner, Zur Theorie der konjugierten trigonometrischen Reihen,Inauguraldissertation, Giessen, 1923. p. 324. · JFM 49.0204.02
[31] Les résultats concernant les suites des types (1, 1) ou ( que nous avons indiqués sont dus àMM. W. H. Young etS. Szidon;W. H. Young, On Fourier series and functions of bounded variation,Lond. Roy. Soc. Proc. t. 88 (1913), p. 561–568, On a condition that a trigonometrical series should have a certain form,ibid. p. 569–574;S. Szidon, Reihentheoretische Sätze und ihre Anwendungen in der Theorie der Fourierschen Reihen,Math. Zeitschr. t. 10 (1921), p. 121–127.M. Fekete a montré (Über Faktorenfolgen welche die ”Klasse” einer Fourierschen Reihe unverändert lassen,Szeged Acta Univ. Franc.-Jos. t. 1 (1923), p. 148–166) que lesdites suites sont aussi les suites de facteurs qui transforment bien d’autres classes de fonctions (fonctions continues, fonctions intégrables au sens de Riemann etc.) en elles-mêmes. · JFM 44.0299.01 · doi:10.1098/rspa.1913.0053
[32] Comptes rendus, l. c., Math. Zeitschr. l. c.
[33] Pour de telles suitescf. G. H. Hardy andJ. E. Littlewood, Some properties of fractional integrals,Proc. London Math. Soc. t. 23 (1924)Records. p. XXXVII-XLI.
[34] I. Schur, Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen,Journ. f. Math. t. 140 (1911), p. 1–28,voir, en particulier, p. 6. · JFM 42.0367.01
[35] On pourrait encore y ajouter le fait presqu’évident que, pour desa jk quelconques, il y a convexité dans tout le plan sur les droites \(\alpha\)=const. et \(\beta\)=const.
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