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Mathematical notes (4): On a theorem of Fatou. (English) JFM 53.0283.07
\(C_0\) sei eine einfache geschlossene Linie, welche den Einheitskreis \(K_1\) im Punkte \(z=1\) berührt (d. h. Punkt und Tangente gemein hat) und im übrigen ganz innerhalb \(K_1\) gelegen ist; \(C_{\theta}\) geht aus \(C_0\) durch die Drehung \(z' = e^{i\theta}z\) hervor. Verf. zeigt nun: Es gibt eine im Innern von \(K_1\) reguläre und beschränkte Funktion \(f(z)\), welche für fast alle \(\theta\) (d. h. abgesehen von einer Menge vom Maß Null) bei radialer Annäherung an \(e^{i\theta}\) einem Grenzwert \(l(\theta)\) zustrebt, während \(f(z)\) bei Annäherung längs wenigstens eines der beiden Zweige von \(C_{\theta}\) nicht gegen \(l(\theta)\) (sogar) \(|f|\) nicht gegen \(|l|\)) konvergiert.
Die Existenz einer solchen Funktion zeigt, daß das bekannte Resultat von Fatou über das Verhalten einer im Innern von \(K_1\) regulären und beschränkten Funktion bei Annäherung an den Rand nicht wesentlich verbessert werden kann. Dieser Satz wird vom Verf. in etwas verschärfter Form folgendermaßen formuliert: \[ f(z)\quad\text{sei regulär und beschränkt für}\quad |z|<1, \] \(S_{\theta}=S_{\theta}(\alpha)\) der Sektor mit dem Winkel \(2\alpha\) \(\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\right)\), welcher von zwei, sich im Punkte \(e^{i\theta}\) symmetrisch zum Radius schneidenden Sehnen gebildet wird. Dann konvergiert \(f(z)\), wenn \(z\) gegen \(e^{i\theta}\) strebt, für fast alle \(\theta\) in jedem \(S_{\theta}(\alpha)\) \(\left(\alpha<\dfrac{\pi}2\right)\) gegen einen Grenzwert \(l(\theta)\), und zwar ist die Konvergenz bei festen \(\theta\), \(\alpha\) eine gleichmäßige.
\(S_{\theta}\) kann hier, wie das obige Resultat zeigt, durch keinen wesentlich umfassenderen Bereich ersetzt werden, d. h. durch keinen Bereich \(B_{\theta}\) von fester Gestalt, dessen Begrenzung den Einheitskreis im Punkte \(e^{i\theta}\) berührt.

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