Potenzreihen irrationalen Grenzwertes. (German) JFM 53.0340.02

Maier, W.

J. f. M. 156, 93-148 (1927).

Die vom Verf. untersuchten Funktionen sind Spezial- bzw. Grenzfälle der Potenzreinen von der Form \[ \textstyle\sum\limits_{\nu=1}^\infty b_\nu x^\nu \] mit \[ b_\nu=\textstyle\prod\limits_{\varrho=1}^\nu \displaystyle \frac{(\varrho-\varkappa_1)(\varrho-\varkappa_2)} {(\varrho-\varkappa_3)(\varrho-\varkappa_4)(\varrho-\varkappa_5)}, \] wo \(\varkappa_1,\dots,\varkappa_5\) Konstanten sind. Es sei \(q=\dfrac{\sigma}{\tau}\) eine von Null verschiedene rationale Zahl (\(\sigma\) ganz, \(\tau\) positiv ganz). Die wichtigsten Ergebnisse der Arbeit lauten folgendermaßen:
1. Der Integrallogarithmus \[ \textstyle\sum\limits_{\nu=1}^\infty\displaystyle \frac{q^\nu}{\nu!\,\nu} \] ist irrational.
2. Bezeichnet \(J\) die Zylinderfunktion erster Art, so ist \[ q^{-k}\{J_k(2\sqrt{-q})\}^2=\textstyle\sum\limits_{\nu=1}^\infty \displaystyle\frac{q^\nu}{(\nu+k)!^2}\binom{2\nu+2k}{\nu}\qquad (k=0,1,2,\dots) \] entweder Null oder irrational.
3. Die Funktion \[ \textstyle\sum\limits_{\nu=1}^\infty\displaystyle \frac{q^\nu}{\nu^2} \] ist irrational, wenn \(\sigma\) und \(\tau\) die Bedingung \[ 256\,e^2\,|\,\sigma\,|\,^3<\tau \] erfüllen.
4. Der Grenzfall der hypergeometrischen Reihe \[ \xi=\textstyle\sum\limits_{\nu=1}^\infty b_\nu q^\nu\;\; \text{mit}\;\; b_\nu^{-1}= \prod\limits_{\varrho=1}^\nu\displaystyle \biggl(\varrho+\frac{\gamma}{c}\biggr)\, \biggl(\varrho+\frac{\delta}{d}\biggr) \] ist irrational, wenn \(c\), \(d\), \(\gamma\), \(\delta\) ganz, \(cd\) positiv ist, wenn ferner \(\dfrac{\gamma}{c}\) und \(\dfrac{\delta}{d}\) keine negativen ganzen Zahlen sind, wenn schließlich \[ \text{entweder}\quad \xi\neq0 \quad \text{oder}\quad cd=1 \] gilt.
5. Die hypergeometrische Reihe \[ \textstyle\sum\limits_{\nu=1}^\infty b_\nu q^\nu \quad\text{mit}\quad b_\nu=\prod\limits_{\varrho=1}^\nu\displaystyle \frac{\varrho+\dfrac{\alpha}{a}}{\varrho+\dfrac{\gamma}{c}} \] ist rational für \(\dfrac{\alpha}{a}-\dfrac{\gamma}{c}=0,1,2,\dots\) und irrational sonst, wenn \(a\), \(c\), \(\alpha\), \(\gamma\) ganz, \(ac\neq0\), \(\dfrac{\gamma}{c}\neq-1,-2,\dots\) und \[ \frac{\sigma}{2}+2a^2c^4\sigma^2<\tau \] gilt.
Ein ähnlich lautender Satz wird für \[ b_\nu=\textstyle\prod\limits_{\varrho=1}^\nu \displaystyle\frac{\biggl(\varrho+\dfrac{\alpha}{a}\biggr) \biggl(\varrho+\dfrac{\beta}{b}\biggr)} {\biggl(\varrho+\dfrac{\gamma}{c}\biggr)\varrho} \] bewiesen.
Schließlich wird gezeigt, daß gewisse Werte der Zylinderfunktion \[ J_0(2\sqrt{-x})=\xi(x) \] keinem quadratischen Zahlkörper angehören können. Es gilt genauer:
Sind \(A_0\), \(A_1\), \(A_2\) ganz, \(A_0\) von Null verschieden, ferner \(q_1\) und \(q_2\) von Null verschiedene rationale Zahlen, so ist \[ A_0+A_1\xi(q_1)+A_2\xi^2(q_2)\neq 0. \]
“Inhaltlich lehnt sich diese Untersuchung an Hermite an; methodisch ist sie beeinflußt durch Hurwitz und Herrn Hilbert.”

Reviewer: Szegö, G., Prof. (Königsberg i. Pr.)