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On Fredholm’s integral equations, whose kernels are analytic in a parameter. (English) JFM 53.0351.01
Verf. betrachtet die Integralgleichung des verallgemeinerten Fredholmschen Typus \[ u(x)=f(x)+\textstyle\int\limits_a^b K\,(x,\xi,\lambda)\,u(\xi)\,d\xi. \] Der zu dem gegebenen Kern \(K\,(x,\xi,\lambda)\) “reziproke” Kern \(\mathfrak K(x,\xi,\lambda)\) wird, sofern er existiert, durch die Gleichungen \[ \mathfrak K(x,\xi,\lambda)+K(x,\xi,\lambda)= \textstyle\int\limits_a^b\mathfrak K(x,s,\lambda)\, K(x,\xi,\lambda)\,ds=\int\limits_a^b K(x,s,\lambda)\, \mathfrak K(x,\xi,\lambda)\,ds \] bestimmt. Verf. beweist: Ist \(K(x,\xi,\lambda)\) analytisch in \(\lambda\) auf einem offenen Gebiet \(\varLambda\) der \(\lambda\)-Ebene und für fast alle Punkte \(x\), \(\xi\) aus dem Quadrat \(a\leqq x\leqq b\), \(a\leqq\xi\leqq b\), so existiert der reziproke Kern \(\mathfrak K(x,\xi,\lambda)\) entweder nicht oder er ist in \(\varLambda\) meromorph für fast alle Punkte \(x\), \(\xi\), sofern die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind: Die Funktionen \[ \varphi(x,\lambda)=\textstyle\int\limits_a^b|\,K(x,\xi,\lambda)\,|^2 \,d\xi,\quad\psi(\xi,\lambda)=\int\limits_a^b|\,K(x,\xi,\lambda)\,|^2 \,dx \] existieren für fast alle Werte von \(x\) bzw. \(\xi\), und es ist für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge \(\varLambda_0\) von \(\varLambda\): \[ \varphi(x,\lambda)\leqq F_0(x),\quad\psi(\xi,\lambda)\leqq F_0(\xi), \] wobei \(F_0(x)\) eine auf \(<a,b>\) definierte, integrierbare, nur von \(\varLambda_0\) abhängende Funktion von \(x\) ist.
Verf. zeigt ferner, daß der soeben formulierte Satz gültig bleibt, wenn \(K(x,\xi,\lambda)\) in \(\varLambda\) meromorph ist, sofern zu den genannten Bedingungen noch die folgenden hinzutreten: Die Lage der in \(\varLambda\) enthaltenen Pole ist von \(x\), \(\xi\) unabhängig, und der Hauptteil eines solchen Poles \(\lambda_0\) hat die Form \(\sum\limits_{k=1}^\mu g_k\,(x,\xi)\,(\lambda-\lambda_0)^{-k}\), wobei jedes \(g_k(x,\xi)\) die Summe aus endlich vielen Produkten aus einer Funktion von \(x\) allein und einer Funktion von \(\xi\) allein ist. Die letztere Voraussetzung ist, wie Verf. bemerkt, wesentlich.
Die Tamarkinschen Bedingungen, die die Integrabilität von \(|\,K(x,\xi,\lambda)\,|^2\) betreffen, reduzieren sich in dem Spezialfall \(K(x,\xi,\lambda)=\lambda K(x,\xi)\) auf die Bedingungen, die Hilbert für diesen Fall erhalten hat. Die Beweismethode beruht auf der Theorie der unendlichen Determinanten; die aus dieser Theorie benötigten Sätze (von H. von Koch) werden in der vorliegenden Arbeit rekapituliert.

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