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Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. (German) JFM 53.0454.02
Die bekannten Sätze über die Extrema von harmonischen Funktionen sind von Picard, Bernstein und Lichtenstein auf Lösungen gewisser Differentialgleichungen vom elliptischen Typus ausgedehnt worden. Verf. stellt in der vorliegenden Arbeit diesbezügliche Untersuchungen mit elementaren Hilfsmitteln an.
Wird unter \(L (u)\) ein linearer partieller Differentialausdruck zweiter Ordnung vom elliptischen Typus verstanden, so gilt der Satz: Genügt die in dem Gebiet \(T\) mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung versehene Funktion \(u (P)\) dort überall der Ungleichung \(L (u) \geqq 0\), und gilt für einen festen Punkt \(P_0\) und alle Punkte \(P\) von \(T\) die Ungleichung \(u (P)\leqq u (P_0)\), so ist \(u (P)\) in \(T\) identisch gleich \(u (P_0)\). Dasselbe gilt für \(L (u) \leqq 0\) und \(u (P) \geqq u (P_0)\).
Der Beweis wird dadurch geführt, daß unter der Annahme \(u < M\) an einer Stelle in \(T\) ein Kreis konstruiert wird, in welchem nach Vornahme einer Koordinatentransformation die Funktion \[ v (P) = u (P) + \delta h (P),\quad h (P) = e^{-\alpha(x^2+y^2)} \] bei geeigneter Wahl der positiven Zahlen \(\alpha\) und \(\delta\) ein Minimum hätte, was der Voraussetzung eines positiv definiten \(L (u) \) widerspricht.
Weiterhin werden Differentialgleichungen des folgenden Typus untersucht: Gegeben sei eine für \(x\), \(y\) in \(T\) und für alle \(u\), \(p\), \(\ldots\), \(t\) stetige Funktion \[ \varPhi(x, y, u, p, q, r, s, t); \] von dieser wird vorausgesetzt, daß sie auf die Form \[ \varPhi= \varPhi_1r +2 \varPhi_2s+ \varPhi_3t + \varPhi_4p + \varPhi_5q +\varPhi_6u \tag{1} \] gebracht werden kann, wobei die \(\varPhi_\nu\) stetige Funktionen von \(x\), \(y\), \(\ldots\), \(t\) sind. Dies kann natürlich auf mehrere Weisen ermöglicht werden. Eine Lösung \(u(x,y)\), \(u_x = p\), \(u_y= q\), \(\ldots\), \(u_{yy} = t\) von \(\varPhi = 0\) heißt in \(T\) elliptisch, wenn nach Einsetzen dieser Größen in die \(\varPhi_\nu\) die Beziehungen \[ \varPhi_1\varPhi_3-\varPhi_2^3>0,\quad \varPhi_1>0 \tag{2} \] in \(T\) erfüllt sind. Eine solche Lösung ist somit auch Lösung einer Differentialgleichung vom elliptischen Typus. Die Extremumseigenschaften der Lösungen übertragen sich mithin; sie werden genau formuliert und auf den oben genannten Satz zurückgeführt.
Schließlich werden noch Voraussetzungen angegeben, welche die vorigen enthalten, nämlich: \(\varPhi\) besitzt stetige partielle Ableitungen erster Ordnung nach allen Argumenten; die Null ist Lösung von \(\varPhi =0\); an jeder Stelle \((x, y, u, 0, 0, r, s, t)\) gilt \[ 4\varPhi_r\varPhi_t -\varPhi_s^2>0,\quad \varPhi_r>0. \tag{3} \] Dann ist die Darstellung von \(\varPhi\) in der Form (1) stets möglich; die \(\varPhi_\nu\) werden explicite durch Integraliormeln dargestellt. Daraus werden wiederum Sätze über die Extremumseigenschaften der Lösungen gewonnen.

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