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Sur quelques problèmes du calcul des variations. (French) JFM 53.0481.02
Die Arbeit enthält Beiträge zur Frage des absoluten Extremums bei dem Integral \({\displaystyle\int\limits_0^1} F (x, y, y')\, dx\). Unter gewissen Voraussetzungen über \(F\) existiert bekanntlich das absolute Extrem in der Klasse der absolut stetigen Funktionen, deren Kurvenbild in \(0\leqq x\leqq1\), \(0\leqq y\leqq1\) verläuft, und die bei \(x = 0\) und \(x = 1\) gegebene Werte annehmen.
Verf. will zeigen, daß zu dieser Tonellischen Theorie eine analoge Theorie in der Klasse aller stetigen Funktionen von beschränkter Schwankung nicht vorhanden ist. Zu diesem Zwecke wird angenommen, daß \(F (x, y, y')\) für alle \(y'\) in \(0\leqq x\leqq1\), \(0\leqq y\leqq1\) stetig sei. Es wird gezeigt, daß die untere Grenze von \({\displaystyle\int\limits_0^1} F (x, f, f')\, dx\) für alle Funktionen \(f (x)\) von beschränkter Schwankung gleich ist der unteren Grenze von \[ \int\limits_0^1 F(x,\varphi(x),\psi(x))\,dx \] für alle meßbaren Funktionen \(\varphi\), \(\psi\). Dabei sei \(0 \leqq f (x) \leqq1\), \(f (0) = 0\), \(f(1) = 1\) und \(0\leqq \varphi(x) \leqq 1\). In der Klasse der \(\varphi\), \(\psi\) wird das Minimum für ein gewisses Funktionenpaar erreicht, und es ist im allgemeinen nicht zu erwarten, daß die zweite Funktion des Paares gleich der Ableitung der ersten ist. Verf. gibt weder ein Beispiel eines \(F\), bei dem die untere Grenze nicht doch für ein \(f (x)\) erreicht wird, noch befaßt er sich mit der Frage, ob nicht für gewisse Klassen von \(F\) die untere Grenze für ein \(f (x)\) erreicht wird, also ein dem Tonellischen analoges Resultat existiert.
Ferner wird ein neuer Weg für die Herleitung eines Tonellischen Existenzsatzes gezeigt. Dieser Weg beruht auf dem folgenden Gedanken: Unter gewissen Voraussetzungen über \(F\) ist, wie zunächst gezeigt werden kann, die Lösung des Problems in einer gewissen Funktionenklasse \(C_\varphi\) zu suchen, die dadurch charakterisiert ist, daß zu ihr ein stetiges positives \(\varphi(x)\) mit \(\varphi(0) = 0\) so existiert, daß für \(0 \leqq x\leqq 1\) stets \(|f(x + h) - f(x)|<\varphi(|h|)\) gilt. Alsdann wird das Problem auf die Frage nach dem Extrem einer nach unten halbstetigen Funktion \(\varPhi(\alpha)\) einer Veränderlichen zurückführt, und zwar durch den Hilfssatz, daß alle Funktionen der Klasse \(C_\varphi\) in der Form \(f = \omega (x, \alpha)\) dargestellt werden können, wobei \(\alpha\) ein das Intervall \(0 \leqq\alpha\leqq1\) durchlaufender Parameter ist.
Ein weiterer Paragraph gibt ein Beispiel eines Variationsproblems, dessen Lösung keine Extremale ist. Die Lösung ist aber sicher dann eine Extremale, wenn \(\left|\dfrac{\partial F}{\partial y}\right|\) beschränkt ist. Es genügt nicht, statt dessen anzunehmen, daß die Ableitungen von \(F\) bis zu einer gegebenen endlichen Ordnung existieren und stetig sind.

MSC:
49-XX Calculus of variations and optimal control; optimization
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References:
[1] L. Tonelli,Fondamenti di calcolo delle variazioni (Bologna, Nicola Zanichelli). · JFM 50.0340.03
[2] Loc. cit., t. II, page 281.
[3] Loc. cit., t. II, pp. 321, 345.
[4] N. Lusin,L’intégrale et la serie trigonométrique (en russe). Moscon 1915, p. 34.
[5] M. L. Tonelli a montré qu’il en est ainsi dans l’hypothèseF(x, y, y′) ≥ |y′ |^1+α (α>0), pour |y′|≥Y′, (α etY′ sont des constantes), loc. cit., t. II, p. 282.
[6] Loc. cit., t. I, p. 397.
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