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A contribution to the mathematical theory of epidemics. (English) JFM 53.0517.01
Man bezeichne die Dichte der Gesunden mit \(x(t)\), der Kranken mit \(y(t)\) und derjenigen, die krank waren und gesund wurden oder starben mit \(z(t)\), die Dauer der Krankheit für ein Individuum mit \(\vartheta\), die Ansteckungsziffer mit \(\varphi(\vartheta)\), die Summe der Gesundungs- und Sterbeziffer mit \(\psi(\vartheta)\). Berücksichtigt man nur die Sterblichkeit durch die Epidemie und nimmt man an, daß ein geheilter Kranker immun ist, so erhält man ein System von Integro-Differentialgleichungen, welche zu einer dem Volterraschen Typ ähnelnden Integralgleichung für die Gesunden führen: \[ \frac{d\log x}{dt}=-NA(t)+\int\limits_0^t A'(\vartheta)x(t-\vartheta)\,d\vartheta, \] wobei \[ A(\vartheta)=\varphi(\vartheta)e^{-\int\limits_0^\vartheta\psi(u)\,du} \] und \(N\) die Dichte der Gesamtbevölkerung ist.
In dem Spezialfall \[ \varphi(\vartheta)=k,\;\psi(\vartheta)=l \] erhält man das System von Differentialgleichungen: \[ \dot x=-kxy,\;\dot z=ly,\;\dot x+\dot y+\dot z=0. \] Falls \(\dfrac klz\) klein gegen Eins ist, erhält man hieraus \(z\) als Funktion der Zeit \(t\). Es existiert eine untere Grenze für die Bevölkerungsdichte: \[ x_0=\frac lk, \] welche überschritten werden muß, damit eine Epidemie auftreten kann. Die Zahl der in der Zeiteinheit Gestorbenen wird dargestellt durch eine eingipflige Kurve. Das Maximum tritt dann auf, wenn die noch nicht angesteckte Bevölkerung die kritische Dichte \(x_0\) erreicht hat. Ein Vergleich der theoretischen Kurve mit dem zeitlichen Verlauf der an einer Pestepidemie in Bombay Gestorbenen liefert eine sehr schöne Übereinstimmung.
Auch im allgemeinen Fall existiert ein kritischer Wert für die Bevölkerungsdichte, unterhalb dessen keine Epidemie auftreten kann. Er hängt von der Infektions-\nobreak, Gesundungs- und Sterbeziffer der Epidemie ab. Eine kleine Vergrößerung der Infektionsziffer kann zu einer großen Epidemie führen. Ein kleiner Überschuß der Dichte über den kritischen Wert wird durch die Epidemie in eine gleich große negative Differenz verwandelt. Im allgemeinen endet die Epidemie, bevor die Bevölkerung ausgerottet ist.

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