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Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. (German) JFM 53.0545.12
Den Gegenstand der Untersuchung bilden hauptsächlich die stetigen Abbildungen der Flächen vom Geschlecht \(>1\) auf sich und das sich dabei ergebende Fixpunktproblem. Zwei Fixpunkte heißen zu einer “Fixpunktklasse” gehörig, wenn es einen sie verbindenden Weg gibt, der zusammen mit seinem im entgegengesetzten Sinn zu durchlaufenden Bilde eine geschlossene Kurve bildet, die homotop 0 ist. Der Index einer Fixpunktklasse ist die Summe der Indizes der Fixpunkte der Klasse, falls diese in endlicher Zahl auftreten, und ist andernfalls auch sinngemäß zu erklären. Es werden in einer großen Anzahl von Fällen die Fixpunktklassen und ihre Indizes bestimmt, und es wird gezeigt, daß in diesen Fällen die Anzahl der Fixpunktklassen mit von Null verschiedenem Index innerhalb der Abbildungsklasse, d. h. in der durch stetige Abänderung entstehenden Gesamtheit von Abbildungen, invariant ist, daß also bei stetiger Abänderung die Anzahl der Fixpunkte nicht unter die genannte Klassenzahl sinken kann. Insbesondere wird an Beispielen gezeigt, daß diese Mindestzahl \(>0\) sein kann, auch wenn die Indexsumme aller Fixpunkte, die nach der Formel von Alexander zu bestimmen ist, Null ist.
Die Behandlung des “Fixpunktproblems” bildet den Inhalt des 4. Abschnitts. Aus der Fülle der Tatsachen, die die drei ersten Abschnitte (1. Abschn: Die universelle Überlagerungsfläche als Koordinatenfläche; 2. Abschn: Automorphismen der Fundamentalgruppe und zugehörige Transformationen des Einheitskreises in sich; 3. Abschn: Stetige Abbildungen) bilden, seien nur die folgenden hervorgehoben: Wird die universelle Überlagerungsfläche in bekannter Weise im Innern des Einheitskreises dargestellt, so läßt sich jedem Punkt des Einheitskreises eine unendliche Folge von Elementen der Fundamentalgruppe zuordnen, die als “Randpunktentwicklung” bezeichnet wird. – Einem Automorphismus der Fundamentalgruppe entspricht eine topologische Abbildung des Einheitskreises auf sich. – Eine topologische Abbildung der Fläche bewirkt einen Automorphismus der Fundamentalgruppe, also eine Abbildung des Einheitskreises auf sich; diese schließt sich stetig an die auf der universellen Überlagerungsfläche durch die Abbildung der Fläche induzierte Abbildung an.

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References:
[1] “Über topologische Abbildungen geschlossener Flächen”. Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität Bd. III 1924.
[2] “Zur Topologie der geschlossenen Flächen”, Vortrag auf dem 6. skandinavischen Mathematikerkongress in Kopenhagen 1925, veröffentlicht im Kongressbericht, Jul. Gjellerups Forlag, Köbenhavn 1926.
[3] Vergl. eine Bemerkung von M. Dehn, Mathem. Annalen Bd. 71, S. 119.
[4] Siehe besonders: Cinquieme Complément à l’Analysis Situs, Rend. Pal XVIII, 1904.
[5] Mathematische Annalen Bd. 69, 71 und 72.
[6] Zur Vervollständigung unserer Darstellung der Grundlagen der Untersuchung seien au dieser Stelle genannt.
[7] M. Dehn: Über diskontinuierliche Gruppen, Mathem. Ann. Bd. 71, 1911, insbesondere S. 119–122. sowie die Einleitung und die ersten drei Paragraphen der Dissertation eines Schülers von Dehn:H. Gieseking: Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen, Münster 1912.
[8] Man ergänze das obige Resumé durchDehns grundlegende Darstellungen l. c5.
[9] M. Dehn, Tranformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen. Math. Ann. 72 (1912), S. 413–421. · JFM 43.0571.03 · doi:10.1007/BF01456725
[10] H. Kneser: Reguläre Kurvenscharen auf den Ringflächen, § 3. Math. Ann. 91 (1924). · JFM 50.0371.03
[11] Hier wird die im nächsten Paragraphen zu beweisende Tatsache vorweggenommen, dass es zu jedem AutomorphismusT-Funktionen gibt, die ihn induzieren.
[12] L. E. J. Brouwer: Sur la notion de “Classe” de transformations d’une multiplicité, Proceedings Vth Intern. Congr. of Math. Cambridge 1913, und: Énumération des classes de représentations d’une surface sur une autre surface, Comptes rendus, t. 171 p. 89 (1920). Diese letztere Arbeit umfasst den obigen Satz. – Selbstverständlich sind zwei zu verschiedenen Automorphismenfamilien gehörige \(\sigma\)-Abbildungen von \(\phi\) nicht stetig in einander überführbar.
[13] L. E. J. Brouwer: Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, § 1; Math. Annalen Bd. 71, S. 97 ff. · JFM 42.0417.01
[14] \(\Phi\)mod F 1 ist im Allgemeinen keine “regulär” Überlagerungsflächen von \(\phi\) (s. z.B. Weyl, Die Idee der Riemanschen Fläche, S. 50), so dass nicht von einer Gruppe von Decktransformationen von \(\Phi\)mod F 1 über \(\phi\) gesprochen werden kann.
[15] Zunächst in den zwei Abhandlungen in Math. Annalen Bd. 82 (1921).J. Nielsen,Über die Minimalzahl der Fixpunkte bei den Abbildungstypen der Ringflächen, undL. E. J. Brouwer,Über die Minimalzahl der Fixpunkte bei den Klassen von eindeutigen stetigen Transformationen der Ringflächen, in denen die Begriffe “Fixpunktklasse” und “Index” noch nicht klar Vervortreten. Der Klassenbegriff wird dann eingeführt und der Bewis sehr vereinfacht und zugleich das Ergebnis auf beliebige stetige Abbildungen des (n dimensionalen) Torus ausgedehnt in der dänisch geschriebenen Arbeit des Verfassers:Ringfladen og Planen, Matematisk Tidsskrift B (1924). Neurdings ist unabhängig vom Verfasser HerrH. Hopf zu einer ähnlichen Darstellung gelangt:Heinz Hopf, Über Mindestzahlen von Fixpunkten, Math. Zeitschr. 1927.
[16] Harold Hotelling, Three-dimensional Manifolds of States of Motion, Transact. Amer. Math. Soc. vol. 27 (1925). · JFM 51.0466.03
[17] Dynamical systems with two degrees of freedom, Trans. Amer. Math. Soc. Bd. 18, besonders S. 286 ff. · JFM 46.0834.02
[18] Vorlesungen über Topologie I. Verlag Springer, 1923, S. 214.
[19] J. W. Alexander, Invariant points of a surface transformation of given class, Transact. Amer. Math. Soc. Vol. 25. · JFM 49.0406.02
[20] Cinquième Complément à l’Analysis Situs, Rend. d. Circ. mat. d. Palermo XVIII (1904). 41-26404.Acta mathematica. 50. Imprimé le 19 septembre 1927.
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