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A correspondence between matrices and quadratic ideals. (English) JFM 54.0195.01
Den Zahlen \(x+y \theta\) eines quadratischen Körpers \(K \sqrt m\), in dem \(1,\theta\) eine Basis sei, werden die Matrizen \[ xE+y \Gamma,\;E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] nach der Poincaréschen Korrespondenz zugeordnet; ferner ist \[ \begin{aligned} \Gamma&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ m & 0 \end{pmatrix} \;\text{für}\;m \equiv 2,3 (\mod 4),\\ \Gamma&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ m' & 1 \end{pmatrix} \;\text{für}\;m \equiv 1 (\mod 4);\;4m'=m-1.\end{aligned} \] Verf. beweist: die Zahlen \[ \omega_1=g_{11}+g_{12} \theta,\;\omega_2=g_{21}+g_{22} \theta,\;g_{\kappa \lambda} \;\text{ganz und rational}, \] bilden die Basis eines Ideals, wenn sich eine ganzzahlige Matrix \(\Lambda\) so angeben läßt, daß \[ G^{-1} \Gamma G=\Lambda,\;G=\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \] ist. Unter den weiteren Sätzen, die die idealtheoretischen Sätze auf den isomorphen Matrizenring abbilden, sei der folgende über die Äquivalenz von zwei Idealen erwähnt: Diese Äquivalenz drückt sich in der Ähnlichkeit zweier Matrizen \[ G_1 \Gamma G_1^{-1},\;G_2 \Gamma G_2^{-1} \] aus; dabei bezeichnet \[ G_\nu=\begin{pmatrix} g_{11}^{(\nu)} & g_{12}^{(\nu)} \\ g_{21}^{(\nu)} & g_{22}^{(\nu)} \end{pmatrix} \] diejenige Matrix, die den Zusammenhang von Körperbasis und Idealbasis angibt. Die Frage nach den Automorphismen des Ringes wird ebenfalls erledigt.

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