×

Sur la sommation absolue des séries de Dirichlet. (French) JFM 54.0243.01

Es sei \(k>0\) und \(0 \leqq \lambda_1 <\lambda_2<\cdots \lambda_n \to \infty\) \((n \to \infty)\). Wenn für \[ A_k(\omega)=\sum_{\lambda_n<\omega} \alpha_n(\omega-\lambda_n)^k \] das Integral \(\int_1^\infty \left| \frac{d}{d \omega} \left( \frac{A_k(\omega)}{\omega^k} \right) \right| d \omega\) existiert, so heißt die Reihe \(\sum_1^\infty a_n\) absolut summierbar von der Ordnung \(k\), kurz \(| R,\lambda,k|\)-summierbar. Dies ist eine sinngemäße Verallgemeinerung der absoluten Konvergenz, ganz entsprechend der üblichen Rieszschen \((R,\lambda,k)\)-Summierbarkeit, die übrigens aus der \(|R,\lambda,k|\)-Summierbarkeit sofort folgt. Es wird bewiesen
(1) Aus \(| R,\lambda,k|\)-Summierbarkeit folgt \(| R,\lambda,k'|\)Summierbarkeit für \(k' > k\).
(2) Ist die Reihe \(\sum a_n\) \(| R,\lambda,k'|\)-summierbar zur Summe \(A\), die Reihe \(\sum b_n\) \((R,\mu,\beta)\)-summierbar zur Summe \(B\), so ist die Dirichletsche Produktreihe \(\sum c_n\) \((R,\lambda+\mu,\alpha+\beta)\)-summierbar zur Summe \(AB\). \(\lambda+\mu\) bedeutet dabei die Folge der Zahlen \(\lambda_n+\mu_k\), der Größe nach geordnet.
(3) Für die Dirichletsche Reihe \[ f(s)=\sum_1^\infty a_n e^{-\lambda_ns} \;(s=\sigma+it) \] existiert eine Abszisse \(\beta_k\) der \(| R,\lambda,k|\)-Summierbarkeit, und für \(\sigma \geqq \beta_k+\delta(\delta>0)\) gilt \[ f(s)=O(| t|^k). \] (IV 4.)

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: Gallica