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Über die Verteilung der Nullstellen und Pole von rationalen Funktionen konvergenter Folgen. (German) JFM 54.0356.01
Die Theorie der Normalfamilien wird benutzt, um zu erkennen, daß für Folgen rationaler Funktionen \(r_n(z)\) ähnliche Sätze bestehen, wie sie für Polynomfolgen seit längerem bekannt sind. Insbesondere wird der Einlfluß der Verteilung von Nullstellen \(a_{mn}\) und Polen der \(r_n(z)\) auf die Ordnung und das Geschlecht der Grenzfunktion untersucht. Hier wird einerseits eine Betragbedingung gestellt: Es gebe ein festes \(k\), so da für alle \(n\) die \(\sum_{m=1}^n | a_{mn}|^{-k}\) unterhalb einer festen Schranke \(M\) liege. Zusammen mit gleichmäßiger Konvergenz der Folge in einem festen endlichen Gebiete folgt daraus die gleichmäßige Konvergenz für jedes endliche Gebiet; die Grenzfunktion ist also meromorph und überdies von einer Ordnung \(<k\) (oder der Konvergenzklasse der Ordnung \(k\)). Daß dieser Hauptsatz erst nach Hinzunahme einer weiteren Bedingung richtig ist, bemerkt Verf. späteren Note (Commentarii Math. Helvetici 2 (1930), 18-34, insbesondere S. 19-20; F. d. M. 56); sie schreibt vor, daß sich Nullstellen und Pole der \(r_n\) nicht nahekommen dürfen. Andererseits wird für die Nullstellen und Pole eine Argumentbedingung diskutiert (Lage in fremden Winkelräumen oder Halbebenen), die sich mit Hilfe des Weierstraßschen Doppelreihensatzes auf obige Betragbedingung zurückführen läßt. Endlich wird eine Reihe sehr schöner und nichttrivialer Beispiele gegeben, die Schranken für den Weiterweg zeigen sollen.

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