×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über die Geometrie der analytischen Abbildungen, die durch analytische Funktionen von zwei Veränderlichen vermittelt werden. (German) JFM 54.0372.04
In seiner Arbeit: “Über das Schwarzsche Lemma bei analytischen Funktionen zweier komplexer Veränderlichen” (Math. Ann. 97 (1926), 76-98; F. d. M. 52) hat Verf. jedem Bereiche im vierdimensionalen komplexen Raume eine gegenüber analytischen Abbildungen invariante Metrik zugeordnet. Er betrachtet die im gegebenen Bereiche analytischen Funktionen \(f(z,w)\), die der Bedingung \(| f(z,w)|<1\) genügen, also im Montelschen Sinne eine normale Familie bilden, und führt dann mit Hilfe der nichteuklidischen Entfernung der Bildpunkte im Einheitskreise eine Distanzfunktion ein.
In der vorliegenden Arbeit wird die damit aufgebaute Metrik genauer untersucht. Jedem Punkt \(P\) eines Gebietes wird durch die Metrik eine “Indikatrix” zugeordnet. Es zeigt sich, daß die Indikatrix eines Punktes \(P\) ein konvexer Kreiskörper ist mit \(P\) als Mittelpunkt. Die Indikatrix des Mittelpunktes eines Kreiskörpers fällt mit der kleinsten konvexen Hülle – also bei einem konvexen Kreiskörper mit diesem selbst – zusammen. Bei analytischer Abbildung zweier Gebiete aufeinander müssen die Indikatrizen einander entsprechender Punkte affin zusammenhängen. Damit ist also eine notwendige (jedoch nicht hinreichende) Bedingung für die Abbildbarkeit zweier Gebiete aufeinander gegeben. So zeigt sich, daß die affinen Abbildungen der Kreiskörper von großer Wichtigkeit sind. Deshalb untersucht Verf. im zweiten Teil seiner Arbeit sämtliche möglichen affinen Abbildungen eines Kreiskörpers in sich und die der Kreiskörper untereinander.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI