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Su un problema di Abel. (Italian) JFM 54.0419.04

Es wird das klassische Problem von Abel über die reibungslose Bewegung eines schweren Punktes untersucht, der auf einer Kurve in einer vertikalen Ebene so fällt, daß die Dauer der Bewegung eine gegebene Funktion \(f(z)\) der Fallhöhe \(z\) ist. Dieses Problem gibt bekanntlich ein erstes Beispiel für die Lösung einer Integralgleichung, und zwar der Gleichung \[ (1)\quad \int_0^z \frac{\varphi(y)}{\sqrt{z-y}}dy = \sqrt{2g}f(z), \] wo \(g\) die Schwerebeschleunigung und \[ (2)\quad \varphi(y)=\sqrt{1+\Phi^{\prime 2}(y)} \] ist; \(x=\Phi(y)\) bedeutet die Gleichung der Bahn des schweren Punktes.
Das Problem wurde von Abel mit Hilfe der klassischen Formel \[ (3)\quad \int_0^z \varphi(y)dy=\sqrt{\frac{2g}{\pi}} \int_0^z \frac{f(y)}{\sqrt{z-y}}dy \] gelöst, die \(\varphi\) und dann \(\Phi\) zu ermitteln erlaubt.
Verf. bemerkt, daß obwohl es sich um ein klassisches Problem handelt, noch heute eine präzise Untersuchung der Bedingungen für die Existenz einer Lösung fehlt. Diese Untersuchung ist durchaus nicht überflüssig; denn auch in einfachen Fällen, wie z. B. dem Problem der “Tautochrone”, brauchen die beiden für das Bestehen von (3) gewiß hinreichenden Bedingungen (\(f\) stetige Funktion mit beschränkter Ableitung, \(\varphi\) beschränkt) nicht erfüllt zu sein.
Verf. untersucht die Bedingungen für die Vertauschbarkeit gewisser Doppelintegrationen und betrachtet dann eine Gleichung, die eine Verallgemeinerung von (1) ist: \[ (4)\quad \int_0^x \frac{\varphi(y)}{(x-y)^\alpha}dy=f(x) \;(0<\alpha<1). \] Er findet zunächst: Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer im Lebesgueschen Sinne integrierbaren, (4) für fast alle Werte \(x\) aus dem Intervall \(<0,1>\) befriedigende Funktion \(\varphi\) ist, daß das Integral \[ \int_0^z \frac{f(x)}{(z-x)^{1-\alpha}}dx \] eine in \(<0,1>\) überall totalstetige, für \(z = 0\) verschwindende Funktion von \(x\) ist.
Aus diesem Satz folgt insbesondere: Die Gleichung (4) hat, von fast überall verschwindenden Funktionen abgesehen, eine einzige Lösung, wenn \(f\) eine in \(<0,1>\) totalstetige Funktion ist, und diese Lösung wird durch den Ausdruck \[ (5)\quad \varphi(y)=\frac{\sin \pi \alpha}{\pi} \left\{ \frac{f(0)}{y^{1\alpha}}+\int_0^y \frac{f'(x)}{(y-x)^{1-\alpha}} dx \right\} \] gegeben.
Verf. untersucht ferner die Bedingung \[ (6)\quad \varphi(y) \geqq 1, \] die zu einer gewissen Beschränkung für die Funktion \(f\) führt, welche bisher noch nicht genügend analysiert worden war. Z. B. findet man, daß das Abelsche Problem gewiß keine Lösung besitzt, wenn nicht die Bedingung \[ f(z) \geqq \sqrt{\frac{2z}{g}} \] in einem ganzen Intervall \(<0,\delta>\) erfüllt ist. In gleicher Weise findet man, daß das Abelsche Problem nicht gelöst werden kann, wenn, mit \(f(0) = 0\), die erste Ableitung \(f'(z)\) der Funktion \(f(z)\) in der Höhe des Punktes 0 beschränkt bleibt.
Im letzten Paragraph der Arbeit gibt Verf. einige hinreichende Bedingungen für die Lösbarkeit des Abelschen Problems an, die man aus den obigen allgemeinen Sätzen herleiten kann, und weist auf einige Eigenschaften der Lösung hin, falls diese Bedingungen erfüllt sind.

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References:

[1] V. “?uvres complètes{” (Christiania, 1881) pp. 11 e 97.}
[2] E evidente che la curva non può essere incontrata in più di un punto da una parallela all’asse dellex, perchè, altrimenti, esisterebbero su di essa o dei minimi distinti daO?e da essi il grave, abbandonato con velocità iniziale nulla, non potrebbe muoversi e non potrebbe quindi giungere inO?o dei tratti orizzontali?ed anche dai punti interni a questi tratti il mobile non potrebbe muoversi con velocità nulla.
[3] Qui e nel seguito,g rappresenta l’accelerazione dovuta alla gravità.
[4] Intenderemo sempre, nel seguito, l’integrabilità nel senso del Lebesgue.
[5] Sull’ integrazione per parti (Rend. R. Accad. dei Lincei (5)18 (1909), p. 246).
[6] Sugli integrali multipli (Rend. R. Accad. Lincei (5)16 (1907), p. 608).
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