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Stetige Konvergenz und normale Familien von Funktionen. (German) JFM 55.0198.04

Die Einbeziehung des uneigentlichen Punktes in die Funktionentheorie, insbesondere die Untersuchung der Konvergenzeigenschaften von Folgen meromorpher Funktionen, bringt gewisse Unbequemlichkeiten mit sich. Der Verf. schlägt unter Weiterbildung eines von Ostrowski systematisch benutzten Gedankens vor, bei den Konvergenzbetrachtungen sich der chordalen Maßbestimmung zu bedienen. Abstand zweier Punkte ist dabei die Länge der Kugelsehne, die ihre stereographischen Bilder auf einer Kugel vom Durchmesser Eins verbindet. Der Darstellung der Theorie der normalen Funktionenfolgen, insbesondere im Gebiet der meromorphen Funktionen, wird der Begriff der Grenzschwankung einer Funktionenfolge zugrunde gelegt: Sind die Funktionen \(f_n (z)\) alle auf einer Punktmenge \(A\) erklärt, die einen Punkt \(z_0\) enthält, und ist \(U^{(\varkappa +1)}\subset U^{(\varkappa )}\) eine Folge von Umgebungen von \(z_0\), deren chordaler Durchmesser gegen Null strebt, bedeutet \(S_n^{(\varkappa )}\) die chordale Schwankung von \(f_n (z)\) in \(A\cdot U^{(\varkappa )}\), setzt man \(\displaystyle\sigma ^{(\varkappa )}= \limsup_{n\to\infty }\,S_n^{(\varkappa )}\), so ist \(\sigma ^{(\varkappa +1)}\leqq \sigma ^{(\varkappa )}\), und es existiert \[ \sigma (z_0)=\lim_{\varkappa \to\infty }\sigma ^{(\varkappa )}. \] \(\sigma (z_0)\) heißt die Grenzschwankung der Folge im Punkte \(z_0\). Dieser Begriff ermöglicht eine sehr einfache Darstellung der Theorie der normalen Funktionenfamilien.

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References:

[1] Weierstra?, Zur Funktionenlehre, Ges. Werke2, S. 202.
[2] P. du Bois-Reymond, Berlin. Sitzungsber. 1886, S. 359-360, und besonders A. Pringsheim, Math. Annalen44 (1894), S. 64-65 und 80-81. Vgl. f?r die weitere Literatur den Enzyklop?diebericht von A. Rosenthal, Enzykl. II 3, 2, S. 1141.
[3] Dies ist z. B. der Fall, wenn man, unter der Voraussetzung, da? eine Folge von Funktionenf n (z) in jedem Punkte einer PunktmengeA im erweiterten Sinne gleichm??ig konvergiert, zeigen will, da? dieselbe Eigenschaft auch den Funktionen (1+f n (z)) zukommt.
[4] H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen (Berlin: Julius Springer 1921), S. 238-246. Gelegentlich tritt der Begriff und auch die Bezeichnung der stetigen Konvergenz schon fr?her in der Literatur auf, z. B. bei. R. Courant in der Arbeit ??ber eine Eigenschaft der Abbildungsfunktionen bei konformer Abbildung?, G?tt. Nachr. 1914.
[5] A. Rosenthal, Enzykl. II 3, 2, S. 1141 a. a. O. Fu?note 901a, oder H. Hahn, S. 248.
[6] A. Ostrowski, ?ber Folgen analytischer Funktionen und einige Versch?rfungen des Picardschen Satzes, Math. Zeitschr.24 (1926), S. 215-258, s. insbes. S. 233. · JFM 51.0260.01
[7] S. insbes. das Buch: P. Montel, Le?ons sur les familles normales (Paris: Gauthier-Villars 1927), in dem der Autor die haupts?chlichsten Resultate dieser wichtigen Theorie zusammengestellt hat.
[8] S. 232.
[9] Herr Ostrowski hat an Stelle des chordalen Abstandes die Bogendistanz der betrachteten Punkte auf der Kugel benutzt. Der chordale Abstand besitzt den Vorteil, da? man seine Haupteigenschaften durch direkte Rechnung ableiten kann, ohne auf das geometrische Bild zur?ckgreifen zu m?ssen.
[10] M. Fr?chet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Pal.22 (1906), p. 40. · JFM 37.0348.02
[11] , 233. · JFM 51.0260.01
[12] W. F. Osgood, Note on the functions defined by infinite series whose terms are analytic functions, Annals of Mathematics (2)3 (1901), p. 25-34. · JFM 32.0399.01
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