Existence de trois géodésiques fermées sur toute surface de genre 0. (French) JFM 55.0316.01

Lusternik, L.; Schnirelmann, L.

C. R. 188, 534-536 (1929).

Das in der vorstehend besprochenen Note aufgestellte Prinzip wird von den Verf. zum Beweis des folgenden Satzes benutzt:
Auf jeder geschlossenen Fläche \(K\) vom Geschlecht Null, deren Linienelement stetige Ableitungen bis zur dritten Ordnung besitzt, gibt es wenigstens drei geschlossene geodätische Linien.
Zum Beweis wird jedes geschlossene \(n\)-Eck auf \(K\) mit hinreichend kleiner Seitenlänge als Punkt einer \(2n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(R_{2n}\) gedeutet. Bezeichnet \(\mathfrak A_1\) die Menge der Großkreise mit gemeinsamem Durchmesser, \(\mathfrak A_2\) die Menge aller Großkreise, \(\mathfrak A_3\) die Menge aller Kreise einer Kugel, und \(\mathfrak L_1, \mathfrak L_2, \mathfrak L_3\) die Scharen von geodätischen \(n\)-Ecken, die den aus \(\mathfrak A_1, \mathfrak A_2, \mathfrak A_3\) bei einer topologischen Abbildung der Kugel auf \(K\) hervorgehenden Kurvenscharen einbeschrieben sind, so entsprechen den Scharen \(\mathfrak L_1, \mathfrak L_2, \mathfrak L_3\) in \(R_{2n}\) Kontinua \(C_1, C_2, C_3\), die nicht auf einen Punkt zusammenziehbar sind. \(F\) sei eine in \(R_{2n}\) definierte Funktion, die jedem Punkt von \(R_{2n}\) die Länge des ihm entsprechenden geodätischen \(n\)-Ecks zuordnet. Man beweist, daß es Kontinua \(C_1, C_2, C_3\) im Innern von \(R_{2n}\) gibt, auf denen nach dem oben besprochenen Prinzip in wenigstens einem Punkt \(dF = 0\) wird. Diesen Punkten entsprechen geschlossene geodätische Linien.
Weitere auf demselben Prinzip beruhende Resultate werden ohne Beweis angegeben. (IV 15, V 6 B.)

Reviewer: Pannwitz, Dr. Erika (Berlin)