×

zbMATH — the first resource for mathematics

Existence de trois géodésiques fermées sur toute surface de genre 0. (French) JFM 55.0316.01
Das in der vorstehend besprochenen Note aufgestellte Prinzip wird von den Verf. zum Beweis des folgenden Satzes benutzt:
Auf jeder geschlossenen Fläche \(K\) vom Geschlecht Null, deren Linienelement stetige Ableitungen bis zur dritten Ordnung besitzt, gibt es wenigstens drei geschlossene geodätische Linien.
Zum Beweis wird jedes geschlossene \(n\)-Eck auf \(K\) mit hinreichend kleiner Seitenlänge als Punkt einer \(2n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(R_{2n}\) gedeutet. Bezeichnet \(\mathfrak A_1\) die Menge der Großkreise mit gemeinsamem Durchmesser, \(\mathfrak A_2\) die Menge aller Großkreise, \(\mathfrak A_3\) die Menge aller Kreise einer Kugel, und \(\mathfrak L_1, \mathfrak L_2, \mathfrak L_3\) die Scharen von geodätischen \(n\)-Ecken, die den aus \(\mathfrak A_1, \mathfrak A_2, \mathfrak A_3\) bei einer topologischen Abbildung der Kugel auf \(K\) hervorgehenden Kurvenscharen einbeschrieben sind, so entsprechen den Scharen \(\mathfrak L_1, \mathfrak L_2, \mathfrak L_3\) in \(R_{2n}\) Kontinua \(C_1, C_2, C_3\), die nicht auf einen Punkt zusammenziehbar sind. \(F\) sei eine in \(R_{2n}\) definierte Funktion, die jedem Punkt von \(R_{2n}\) die Länge des ihm entsprechenden geodätischen \(n\)-Ecks zuordnet. Man beweist, daß es Kontinua \(C_1, C_2, C_3\) im Innern von \(R_{2n}\) gibt, auf denen nach dem oben besprochenen Prinzip in wenigstens einem Punkt \(dF = 0\) wird. Diesen Punkten entsprechen geschlossene geodätische Linien.
Weitere auf demselben Prinzip beruhende Resultate werden ohne Beweis angegeben. (IV 15, V 6 B.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Gallica