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Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie. III: Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln. Bearbeitet von G. Thomsen. (German) JFM 55.0422.01
X + 474 S. Berlin, J. Springer (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen) (1929).
Bei der Lektüre der “Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln” möchte Referent als besonders eindrucksvoll die folgenden drei Gesichtspunkte hervorheben: Den Reiz der Problemstellung, die Eleganz des “Apparates” und die verblüffende Fülle der Ergebnisse.
Um zunächst nur die beiden ersten der angeführten Momente allgemein abzugrenzen, erscheint es notwendig, vorerst die von Anbeginn zur Verfügung stehenden begrifflichen Elemente anzuführen: die geometrischen Grundbausteine, die “\(K\)-Kugeln”, den “Urraum” (den projektiven \(P_{n+2}\)) sowie das Koordinatenmaterial, Systeme von \(n+3\) “polysphärischen” Verhältnisgrößen, den “\(K\)-Kugeln” eindeutig zugeordnet und untereinander durch eine quadratische Identität verknüpft. Daraus erwächst die Problemstellung: welche Invarianten enthält die Gruppe \(\mathfrak K\) aller linearen Transformationen der polysphärischen Koordinaten, bei welchen deren quadratische Identität erhalten bleibt? Wie kann man diese Invarianten “geometrisch identifizieren”? Welche Untergruppen der Gruppe \(\mathfrak K\) erzeugen weitere geometrische Begriffssysteme? Welche Zuordnungen und Bildgeometrien vermitteln Gruppenisomorphismen und das Prinzip der Transformationen mit Wechsel des Raumelementes ? Die Behandlung aller dieser Fragen beginnt mit einem einleitenden Abschnitt (§§ 1-3) über kennzeichnende Eigenschaften der (ebenen) Abbildungen von Möbius, Laguerre und Lie, über Abbildungen ‘im Kleinen” wie “im Großen”, Einführung idealer Elemente sowie über die Zusammenfassung der vier Elemente “gerichteter Kreis”, “gerichtete Gerade”, “Punkt” und “uneigentlicher Punkt” in den Begriff “\(K\)-Kreis”. Die Darstellung der folgenden Kapitel (1-5) – den Kreisgeometrien der Ebenen gewidmet – ist der der späteren Kapitel (6-9) – den Kugelgeometrien des Raumes gewidmet – in gewissem Sinne entgegengesetzt, sofern in den ersten die unabhängige Behandlung der Möbius- und Laguerregeometrie vorangeht und der “Überbau” der Liegeometrie folgt – umgekehrt in den späteren die umfassende Liegeometrie voransteht und die “Ausfällung” der Möbius- und Laguerregeometrie vermittels spezieller Untergruppen folgt. Somit beginnt das 1. Kapitel mit der stenographischen Projektion und der Geometrie von Möbius in der Ebene. Die stereographische Projektion der “Grundkugel” \(\mathfrak K\) vermittelt die Zuordnung der homogenen Koordinaten des projektiven \(P_3\) zu den tetrazyklischen Koordinaten der Punkte und Kreise der Grundprojektionsebene \(M_2\) (Möbiusebene). Der sechsgliedrigen Gruppe \(\mathfrak H_6\) der hyperbolischen Bewegung des \(P_3\) mit der “Maßkugel” \(\mathfrak K\) entspricht dabei die isomorphe Gruppe \(\mathfrak M_6\) der “Möbiustransformationen” der Ebene, d. h. eineindeutiger Punkttransformationen der \(M_2\) mit der weiteren Eigenschaft, Kreise und Geraden als Punktmannigfaltigkeiten der \(M_2\) eindeutig wieder in Kreise oder Geraden überzuführen. So erscheint die “Kreisgeometrie von Möbius” in der Ebene auf die hyperbolische Geometrie des Raumes zurückgeführt, und zugleich ist das Problem “linearisiert”, sofern die tetrazyklischen Koordinaten linear transformiert werden und somit das sachgemäße Darstellungsmittel dieser Geometrie bieten.
Zu Kapitel 1 steht parallel der Anfang von Kapitel 4. Wieder bildet eine projektive Untergruppe des \(P_3\) den Ausgangspunkt. Wieder wird letztere näher bestimmt durch eine Invarianzforderung. Der hyperbolischen Raumgeometrie entspricht die dreidimensionale konforme Punktgeometrie, der invarianten Maßkugel \(\mathfrak K\) der invariante absolute “isotrope” (reelle) Kegel: \[ -(X_0-Y_0)^2+(X_1-Y_1)^2+(X_2-Y_2)^2=0, \] der Gruppe der hyperbolischen Bewegungen die Gruppe \(\mathfrak I\) der affinen Abbildungen, welche die isotropen Elemente (isotrope Ebenen und isotrope Geraden) wieder in isotrope Elemente überführt, der stereographischen Projektion die isotrope (zyklographische) Projektion und damit die eineindeutige Abbildung der Punkte des Raumes auf die “\(L\)-Kreise” der Projektionsgrundebene (Inbegriff von (gerichteten) Kreisen und Punkten – hier mit Ausschluß der Geraden), schließlich der räumlichen Gruppe \(\mathfrak I\) die Gruppe \(\mathfrak L\) der ebenen “Laguerregeometrie”. Gegenüber der Möbiusgeometrie spielen hier die gerichteten Geraden als eineindeutige Bilder der isotropen Ebenen eine Sonderrolle. Ein weiterer Grundbegriff der Laguerregeometrie ist die invariante “Tangentenentfernung” zweier gerichteter Kreise. Er gibt Anlaß zur Auswahl der “engeren” sechsgliedngen Laguerregruppe \(\mathfrak L_6\) aus der ursprünglich eingeführten “erweiterten” siebengliedrigen Gruppe (\(\mathfrak L\) bzw. \(\mathfrak L_7\)), welche die Form \((\mathfrak X-\mathfrak Y)^2\) zweier Kreise absolut invariant läßt. Der Gruppe \(\mathfrak L_6\) entspricht im Raume die Gruppe \(\mathfrak I_6\) aller (dreidimensionalen) Lorentztransformationen und umgekehrt. Damit ergibt sich: die Gruppe der indefiniten Bewegungsgeometrie der speziellen Relativitätstheorie und die der Laguerreschen Kreis-(und Kugel-)geometrie sind isomorph! Alle wichtigen Begriffe der relativistischen Physik finden ihr Laguerregeometrisches Gegenstück. Insbesondere entsprechen den Typen der isotropen, raumartigen und zeitartigen Geraden in der (dreidimensionalen) Minkowski-Welt die Typen der isotropen, raumartigen und zeitartigen Kreisreihen in der Laguerreebene. (Man erinnert sich des Untertitels des Gesamtwerkes des Verf.: “und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie”. Bd. II hatte den Tensorkalkül gebracht – hier wird ein weiterer Teil dieses Versprechens eingelöst!)
Die bisher erwähnten Kapitel und Paragraphen werden den Leser noch wenig “differentialgeometrisch” anmuten. Dasselbe gilt von gewissen Teilen des 5. Kapitels, welches dem “Überbau” der Liegeometrie der Ebene und der Einordnung der Möbius-und Laguerregeometrie gewidmet ist. Aber damit noch nicht genug! Auch das hier noch nicht näher erwähnte Kapitel 2 trägt noch vorbereitenden Charakter (Invarianten der Kreisgeometrie von Möbius). Es gilt, die Zurüstung für weitergesteckte Aufgaben auszubauen. Die Bildung der Invarianten der “Inversionsgeometrie” (der neue Terminus wird bereits in Kapitel 1 eingeführt, wo gezeigt wird, daß sich die Gruppe der Kreisverwandtschaften aus Inversionen erzeugen läßt, diese mithin als typische Abbildungen jener aufgefaßt werden können) erfolgt in zwei Schritten. Zuerst werden die sogenannten Halbinvarianten aufgestellt, definiert gegenüber der Gruppe \(\mathfrak B\) der linearen Transformationen der tetrazyklischen Koordinaten \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), bei welchen die Form \((\mathfrak x\mathfrak x)=-x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2\) absolut invariant bleibt. Sodann werden diejenigen Halbinvarianten bestimmt, welche auch gegenüber der Gruppe \(\mathfrak P\) der Umnormierungen (\(x_i^*=\lambda x_i\)) ungeändert bleiben. Hat man allgemein \(p\) irgendwie vorgegebene Vektoren \(\mathfrak x^{\text{I}}\), \(\mathfrak x^{\text{II}}\),…, \(\mathfrak x^p\) gegeben (mit je \(n\) Komponenten \(x_i\)), darunter \(r\) linear unabhängige, bildet aus ihnen irgendein System von \(r\) linear unabhängigen “Grundvektoren” und kombiniert alle übrigen linear aus diesen, so ist das vollständige System der unabhängigen Invarianten durch die Skalarprodukte der Grundvektoren und die Koeffizienten der gebildeten Linearkombinationen gegeben. Als unmittelbare Anwendungen ergeben sich z.B. (für \(n=4\)) die “Vorzeicheninvariante” dreier Kreise sign \((\mathfrak x\mathfrak y)(\mathfrak y\mathfrak z)(\mathfrak z\mathfrak x)\), die “Büschelinvariante” dreier sich berührender Kreise und die Einführung der “Normalkoordinaten”. Die weiteren Ausführungen von Kapitel 2 enthalten den “Einbau” der euklidischen, elliptischen und hyperbolischen Bewegungsgeometrie der Ebene in die ebene Inversionsgeometrie (§ 16-§ 19). Hier sei nur auf die “gemeinsame” Behandlung aller dieser Geometrien in § 19 – ein typischer Zug des ganzen Buches (vgl. § 80) – hingewiesen. Analog dem Einbau der metrischen Geometrien in die projektive wird jetzt ein “absoluter Vektor” \(\mathfrak k\) mit dem skalaren Quadrat \(\mathfrak k\mathfrak k=C\) eingeführt. Je nach der Wahl der Möglichkeiten \(C\gtreqqless0\) “projiziert” sich die hyperbolische Bewegungsgruppe stereographisch in der Grundebene auf eine zur hyperbolischen, euklidischen oder elliptischen (ebenen) Bewegungsgruppe isomorphe Gruppe.
Mit Kapitel 3 beginnt die Entwicklung der eigentlichen Differentialkreisgeometrie, die Theorie der Kreisscharen, Kurven und Kurvennetze in der Möbiusebene. In der Theorie der Kreisscharen \(\mathfrak x(t)\) haben nur solche Ausdrücke geometrische Bedeutung, welche sich, von der normierten Möbiusinvarianz \(\mathfrak x\mathfrak x=1\) abgesehen, noch parameterinvariant verhalten. Die Parameterinvarianz der Vektoren \(\mathfrak x\), \(\mathfrak x'\), \(\mathfrak x''\), \(\mathfrak x'''\),…wird durch Einführung invarianter Parameter erreicht in bekannter Analogie zur bewegungsinvarianten Kurventheorie. Ein Kreis \(\mathfrak x\), sein Nachbarkreis (Querkreis) \(\mathfrak x'\) und beider Schnittpunkte \(\mathfrak v\) und \(\overline{\mathfrak v}\) bilden das Grundkreissystem der Kreisschar \(\mathfrak x(t)\). Die lineare Kombination \(\mathfrak x''\), \(\mathfrak v'\), \(\overline{\mathfrak v'}\) aus den Grundkreisen führt auf die “Frenetformeln” der Kreisscharentheorie. Die Theorie der Elemente zweiter Ordnung führt auf die Behandlung der Schmiegkreise einer Kurve, insbesondere “zurück” auf deren euklidische bzw. nichteuklidische Bewegungsgeometrie bei Einführung eines absoluten Kreises \(\mathfrak k =\overline{c}\mathfrak v-c\overline{\mathfrak v}\) (\(\mathfrak k \mathfrak x=\mathfrak k^{\prime}{\mathfrak x}=\mathfrak k^{\prime\prime}{\mathfrak x}= \mathfrak k^{\prime\prime\prime}{\mathfrak x}=0\)). Im Bereich der dritten Ordnung ergeben sich für die Kurve \(\mathfrak v\) zwei invariant verknüpfte Kreise, die sogenannten Hauptkreise. Läßt man einen von beiden mit \(\mathfrak x\) zusammenfallen, so gelangt man zur inversionsgeometrischen Kurventheorie und zu Liebmanns Inversionslänge.
An die Theorie der (einparametrigen) Kreisscharen schließt sich die Theorie der zweiparametrigen Kreissysteme der Ebene (\(\mathfrak p=\mathfrak p(uv)\), \(\mathfrak p\mathfrak p=1\)). Dabei entspricht jedem System eigentlicher Kreise eine ganz außerhalb der Grundkugel gelegene Fläche \(\mathfrak p(u,v)\) im hyperbolischen Raum, und die Flächengeometrie im hyperbolischen Raum wird gleichbedeutend mit der Inversionsgeometrie der Kreissysteme auf der Kugel und in der Ebene. Jedem Flächenpunkt entspricht eine Polarebene zur Grundkugel, ihrem Ort die Polarfläche \(\overline{\mathfrak p}\), den Tangentialebenen beider im Schnitt mit der Grundkugel zwei Kreissysteme auf dieser. Man sieht die Entwicklung! Jetzt spielt der Apparat: Kreissysteme “unten”, Kreissysteme “oben” (auf der Kugel), Kurvennetze auf den Flächen, Wechselnetze, orthogonale, isogonale, isotherme Netze – dreierlei Geometrie – aber immer die gleiche Formelsprache.
Mit einer analogen Entwicklung der invarianten Hilfsmittel gelingt in Kapitel 4 (Mitte und Ende) der Ausbau der Laguerrekurventheorie der Ebene. Hier spielen die räumlichen isotropen Elemente (isotrope Geraden, Kurven, Ebenen) eine bevorzugte Rolle. Die Laguerregeometrie der ebenen Kurven entspricht der dreidimensionalen Minkowskigeometrie der isotropen Kurven \(\left(\dfrac{d\mathfrak X}{dt}\right)^2=0\), sofern sich die isotropen Kurven des Raumes durch die isotrope Projektion auf die Schar der Krümmungskreise der ebenen Kurven abbilden. Die ganze Studysche Theorie der isotropen Kurven spiegelt sich in der Laguerreebene! Studys natürlicher Parameter, die isotrope “Frenetformel” \(\mathfrak x^{\text{IV}}=\frac12\varPhi'\mathfrak x'-\varPhi\mathfrak x''\) mit der charakteristischen Invarianten \(\varPhi\) finden ihre Laguerre-geometrische Deutung. So liefert \(\varPhi=\) const \(< 0\) die Laguerreverwandten der Traktrix, \(\varPhi=0\) die sogenannten Laguerrezykeln.
Die Darstellung drängt zur Synthese! Sie wird im 5. Kapitel durchgeführt. Man kann auch die Liegeometrie der Ebene im projektiven Gebiet beginnen. Zu diesem Zweck bezieht man den projektiven vierdimensionalen Raum \(P_4\) auf fünf homogene kartesische Punktkoordinaten \(y_0\), \(y_1\), \(y_2\), \(y_3\), \(y_4\), ordnet ihnen in der Form \(x_i=\dfrac{y_i}{y_4}\) die tetrazyklischen Koordinaten zu und betrachtet alle projektiven Transformationen des \(P_4\), welche die Hyperfläche \(\langle\mathfrak y\mathfrak y\rangle=-y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2-y_4^2\) in sich überfuhren. Diese projektiven Kordinaten, in der Ebene gedeutet, werden pentazyklische Kreiskoordinaten genannt, ihre Transformationen daselbst ebene “Lietransformationen”, ihre Invariantentheorie (Halbnormierungs-Parameterinvarianten) ebene “Liegeometrie” mit dem geometrischen Grundelement “\(K\)-Kreis”. Von den einfachsten Invarianten seien erwähnt: Die Vorzeicheninvariante dreier und das Doppelverhältnis vierer Kreise. Von den \(Lie\)kreissystemen seien die linearen erwähnt, deren Angehörige \(\mathfrak x\) der Relation \(\langle\mathfrak a\mathfrak x\rangle=-a_0x_0+a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-a_4x_4=0\) genügen, welche gemäß \(\mathfrak a^2\lesseqqgtr0\) in elliptische, parabolische und hyperbolische Systeme zerfallen, von Kreissystempaaren \(\mathfrak a\), \(\mathfrak p\) die involutorischen \(\mathfrak a\mathfrak p=0\). Es zeigt sich nun, daß die Untergruppe der Lie-Gruppe, welche ein festgewähltes hyperbolisches lineares Kreissystem invariant läßt, mit der Möbiusgruppe, diejenige, welche ein festgewähltes parabolisches lineares Kreissystem invariant läßt, mit der Laguerregruppe identisch ist. Die Möbiusgeometrie verhält sich demnach zur Laguerregeometrie wie die nichteuklidische zur euklidischen Bewegungsgeometrie. Nach zahlreichen weiteren Untersuchungen wird dieses Kapitel und mit ihm der erste Hauptabschnitt des Buches durch den sogenannten Hauptsatz der ebenen Kreisgeometrie beschlossen: eine eineindeutige Abbildung der \(K\)-Kreise der Ebene, die sich berührende \(K\)-Kreise immer wieder in solche überführt, ist notwendig eine Abbildung von \(Lie\). Die Beweisführung setzt nicht einmal Stetigkeit der Abbildung voraus.
Im zweiten Teil des Werkes (Kapitel 6-9) ist die Dimensionszahl durchweg um eine Einheit erhöht. Aus den Kreisgeometrien werden die Kugelgeometrien des Raumes. Die Liesche Kugelgeometrie steht voran, die Möbius- und Laguerrekugelgeometrie erscheinen als spezielle Teilgebiete der Lieschen. Gerichtete Kugeln, gerichtete Ebenen, gewöhnliche Punkte und der uneigentliche Punkt bilden den Inbegriff der \(K\)-Kugeln. Den \(K\)-Kugeln werden eindeutig die homogenen hexasphärischen Koordinaten mit der quadratischen Bedingung \(\langle\mathfrak y\mathfrak y\rangle=-y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2-y_5^2=0\) zugeordnet ; ihre linearen Substitutionen mit der Invarianzbedingung \(\langle\mathfrak x\mathfrak x\rangle=0\) definieren die Abbildungen von Lie im Raume. Die Lieinvarianten zerfallen wiederum in Halbnormierungs- und Parameterinvarianten. Drei linear abhängige \(K\)-Kugeln gehören zu einem Büschel und berühren sich (Lieinvariant) in ein und demselben Flächenelement. Zu drei Kugeln, welche sich auch paarweise nicht berühren, gehört die Vorzeicheninvariante; alle weiteren, welche sich aus diesen linear kombinieren, bilden eine lineare Schar. Aus vier Kugeln eines Büschels bildet man das invariante Doppelverhältnis ihrer Radien. Kreise und Gerade sind in der räumlichen Liegeometrie ohne invariante Bedeutung. Den linearen Kreissystemen der Ebene entsprechen hier die dreiparametrigen elliptischen, parabolischen und hyperbolischen linearen \(K\)-Kugelkomplexe: \(\mathfrak a\mathfrak x=0\), \(\mathfrak a^2\gtreqqless0\). Die erhöhte Dimensionszahl bringt hier nun bereits für den “Grundraum” eine erhebliche Zahl neuer Probleme mit sich, so daß hier der “Rückweg” zur Punktgeometrie höherer Räume nicht in dem Maße wie früher ausgenützt wird. Dazu gesellt sich abgesehen von der Möglichkeit, Flächentheorie bereits im “Grundraum” treiben zu können, ein weiterer wichtiger Umstand: die der projektiven Liniengeometrie zugrunde liegende Gruppe unterscheidet sich von der Gruppe der räumlichen Liegeometrie nur im Trägheitsindex ihrer invarianten quadratischen Formen; beide Gruppen (und mit ihnen beide Geometrien) hängen vermöge einer linearen imaginären Transformation zusammen und können daher formal weitgehend gleichartig behandelt werden: Lies Geraden-Kugeltransformation.
Nun zur Möbiusgeometrie im Raum: sie erscheint als Teilgebiet der Liegeometrie unter Auszeichnung eines absoluten hyperbolischen linearen Kugelkomplexes \(\mathfrak p = \{0,0,0,0,0,1\}\). Die quadratische Identität der hexasphärischen Koordinaten reduziert sich unter seinem Einfluß auf die der pentasphärischen Koordinaten \((\mathfrak x\mathfrak x)=-x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=0\), (\(x_5=0\)). Mit ihrer Hilfe wird die Möbiusgeometrie der räumlichen Kreise, Kugelscharen und Kurven durchgeführt. Analog vollzieht sich der Übergang zur Laguerregeometrie des Raumes durch Einführung eines absoluten parabolischen Komplexes \(\mathfrak p\) (\(\langle\mathfrak p\mathfrak p\rangle=0\), \(\mathfrak p=\{- 1, 1, 0, 0, 0,0\}\)). Dabei reduziert sich der Begriff der \(K\)-Kugeln auf den der \(L\)-Kugeln, welchen durch isotrope Projektion rückwärts die Punkte des vierdimensionalen Minkowskischen Raum-Zeitkontinuums der speziellen Relativitätstheorie entsprechen. Kapitel 6 wird mit Anwendungen der Laguerregeometrie auf die Theorie der sphärischen Abbildung, ferner auf die Bestimmung einer Fläche aus dem sphärischen Bild ihrer Krümmungslinien, die Bestimmung von Flächen mit lauter ebenen Krümmungslinien und die Bestimmung der Anzahl der Nabelpunkte auf Eiflächen beschlossen.
Kapitel 7 entwickelt die Flächentheorie in der Geometrie von Möbius und Laguerre in gemeinsamer Behandlung (Einführung eines normierten absoluten Komplexes \(\mathfrak p\), \(\mathfrak p\mathfrak p=\varepsilon=\displaystyle\left\{\begin{matrix}-1\\ \hfill0\end{matrix}\right.\) in den Raum der Liegeometrie). Voran gehen die Begriffe: gerichtete Flächenelemente zweier Kugeln, \(\langle\mathfrak z^\alpha\mathfrak z^\beta\rangle=0\), Flächenstreifen, \(\mathfrak z^\alpha\mathfrak z^\beta=0\), Krümmungsstreifen (Flächenstreifen längs einer Krümmungslinie), Asymptotenstreifen. Es folgen die Begriffe: “gerichtete Fläche” (Inbegriff zweier Kugelsysteme \(\mathfrak z^\alpha(u,v)\), welche die Fläche berühren, \(\langle\mathfrak z^\alpha\mathfrak z^\beta\rangle=\langle\mathfrak z^\alpha\mathfrak z^\beta_u\rangle= \langle\mathfrak z^\alpha\mathfrak z^\beta_v\rangle\), “Zentralkugel” (viertes Möbiusinvariantes harmonisches Element zum Tripel: Flächenpunkt und Krümmungskugelpaar), “Mittenkugel” (viertes Laguerre-invariantes harmonisches Element zum Tripel: Tangentenebene und Krümmungskugelpaar). Die Durchführung der Möbius- und Laguerreflächentheorie erfordert nun die systematische Ausbildung der Halb-Normierungs- und Parameterinvarianten der beiden zur Flächendarstellung benutzten (hexa- bzw. pentasphärischen) Vektoren \(\mathfrak a (u, v)\) und \(\mathfrak x(u, v)\) sowie ihrer Ableitungen: \(\mathfrak a\), \(\mathfrak a_{u}\), \(\mathfrak a_{v}\), \(\mathfrak a_{uu}\), \(\mathfrak a_{vv}\),…, \(\mathfrak x\), \(\mathfrak x_{u}\), \(\mathfrak x_{v}\), \(\mathfrak x_{uu}\),…, \(\mathfrak p\). Dabei bedeutet \(\mathfrak a\) (\(=\mathfrak z^{\text{I}}\)) die Kugel, welche jeweils durch ein bestimmtes gerichtetes Flächenelement hindurchgeht und dem absoluten Komplex \(\mathfrak p\) angehört (\(\langle\mathfrak a\mathfrak a\rangle=0\); \(\langle\mathfrak a\mathfrak p\rangle=0\), dagegen \(\langle\mathfrak z^{\text{II}}\mathfrak z^{\text{II}}\rangle= \langle\mathfrak x\mathfrak x\rangle=0\); \(\langle\mathfrak x\,\mathfrak p\rangle\neq0\)). Mit Hilfe dieser Theorie und der entsprechenden, “invarianten Ableitungen” für beliebige Parameter lassen sich beide Flächentheorien bewältigen: Entwicklung der Grundformeln, Ableitungsgleichungen, Integrabilitätsbedingungen, Betrachtung der mit der Fläche invariant verbundenen Kugelkomplexe, isothermer Flächenkurvennetze, Krümmungskreise und zyklischer Kurvensysteme.
Kapitel 8 enthält die Theorie der zweiparametrigen Kugelsysteme. Man kann sie als Verallgemeinerung der vorhergehenden kugelgeometrischen Flächentheorie auffassen, sofern jeder Fläche das spezielle System der Zentral- bzw. Mittenkugeln eindeutig zugeordnet erscheint. Die Untersuchung beschränkt sich auf Kugelsysteme mit zwei reellen getrennten Hüllflächen, \(d\mathfrak x\,d\mathfrak x>0\), unter Verwendung hexasphärischer Koordinaten \(\mathfrak x(u_1,u_2)\), normiert am absoluten Komplex \(\mathfrak p\): \(\langle\mathfrak x\mathfrak x\rangle=0\), \(\langle\mathfrak x\mathfrak p\rangle=1\). Mit der Entwicklung der allgemeinen Grundformeln (Ableitungsgleichungen) ergeben, sich insbesondere die Krümmungslinien und Krümmungskugeln der Hüllflächen des Systems. Das Doppelverhältnis der vier Hauptkrümmungsrichtungen auf dem Hüllflächenpaar bestimmt eine wichtige Invariante. Ihr Verschwinden ist kennzeichnend für Ribaucoursche Kugelsysteme (\(R\)-Kugelsysteme). Sie sind in einem oskulierenden linearen Komplex \(\mathfrak x\) enthalten, dem die Kugeln \(\mathfrak x\) und noch alle in erster und zweiter Ordnung benachbarten Systeme angehören. In der Laguerregeometrie (\(\mathfrak p\mathfrak p=\varepsilon=0\)) entsprechen den \(R\)-Kugelsystemen durch isotrope Projektion zweidimensionale Flächen in der vierdimensionalen “Minkowski-Welt” \(E_4\) und es gilt der Satz: die \(R\)-Kugelsysteme sind die isotrope Projektion der raumartigen Flächen, welche im (indefiniten) \(E_4\) einem vierfachen Orthogonalsystem angehören. Nach der Untersuchung weiterer spezieller \(K\)-Kugelsysteme (Systeme, deren Hüllflächen Isothermflächen sind, bzw. deren sphärisches Krümmungslinienbild isotherm ist) erfolgt der Übergang zur Flächentheorie. Er geschieht im wesentlichen durch die Wahl von \(R\)-Kugelsystemen mit involutorischem oskulierendem Komplex. Dann besteht noch sowohl die Freiheit in der Wahl des absoluten wie auch des oskulierenden involutorischen Komplexes (Möbius- bzw. Laguerregeometrie; elliptischer, parabolischer, hyperbolischer involutorischer Komplex). Auf diese Weise erhält man die euklidische und die nichteuklidischen Flächentheorien in Punkt- bzw. Ebenenkoordinaten. Alle ihre Grundformeln werden in gemeinsamer Behandlung abgeleitet (§ 80). Dabei zeigt sich, daß die Minimalflächen aller drei Geometrien durch zusammenfallende Zentralkugeln und Tangentenebenen ausgezeichnet sind. Ein weiteres interessantes Kugelsystem liefern die Extremalen der einfachsten Möbius- bzw. Laguerreinvarianten Doppelintegrale eines Kugelsystems. Ihre Hüllflächen liefern die \(M\)-Minimalflächen der Möbius- und die \(L\)-Minimalflächen der Laguerregeometrie, welche ihrerseits Extremalen der einfachsten Möbius- bzw. Laguerreinvarianten Flächendoppelintegrale sind. Kapitel 8 enthält noch ihre weitere Theorie, insbesondere auch die integrallose Darstellung der \(L\)-Minimalflächen durch Bonnetsche Ebenenenkoordinaten.
Kapitel 9 beschließt das ganze Werk mit der Liegeometrie der Flächen und Zyklidensysteme. Hier fehlt der absolute Komplex. Die Zykliden von Lie bestimmen sich aus dem Kugelscharenpaar, welches von je einem Tripel konsekutiver Krümmungskugeln erzeugt wird, die man längs einer der beiden Krümmungslinien jeweils aus der Schar der zur anderen gehörigen entnimmt. Es sei hier noch erwähnt, daß zahlreiche weitere Untersuchungen dieses Kapitels von Lies Geraden-Kugeltransformation beherrscht werden. Sie ermöglicht es insbesondere, von der Liekugelgeometrie zur projektiven Flächentheorie überzugehen und – um nur eines der schönsten Beispiele anzuführen – aus den Lieminimalflächen unmittelbar die Projektivminimalflächen zu gewinnen.
In einem Anhang wird ein kurzer Abriß der Lebensbilder von Möbius, Laguerre und Lie gegeben.

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