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On linear sets of points of fractional dimension. (English) JFM 55.0747.01

Die Theorie des \(s\)-dimensionalen Maßes von Punktmengen des \(q\)-dimensionalen Raumes (\(0 < s \leqq q\)) ist für ganzzahlige \(s\) von Carathéodory (Nachrichten Göttingen 1914, 404-426; F. d. M. 45, 443 (JFM 45.0443.*)), für beliebige \(s\) von Hausdorff (Math. Ann. 79 (1918), 157-179; F. d. M. 46, 292 (JFM 46.0292.*)) entwickelt worden. Verf. untersucht im ersten Teil der vorliegenden Arbeit die Struktur der \( s\)-dimensionalen Mengen oder \(s\)-Mengen, \(0 < s < 1\), auf der Geraden, die bezüglich ihrer mit Hilfe des \(s\)-Maßes definierten Dichteeigenschaften ein eigentümliches Verhalten zeigen. Dieses eigentümliche Verhalten beeinflußt auch die Ergebnisse des zweiten Teils der Arbeit, in dem \(s\)-Derivierte oder \(s\)-Gradienten und \(s\)-Integrale von reellen Funktionen untersucht werden (vgl. hierzu die Arbeit des Verf. in M. Z. 30 (1929), 514-519; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 144).
Eine Teilmenge \(A\) der Geraden heißt \(s\)-Menge, wenn das äußere \(s^\prime\)-Maß von \(A\) für \(s^\prime > s\) Null, für \(s^\prime< s\) unendlich ist; im folgenden werden \(s\)-Mengen im allgemeinen als \(s\)-meßbar mit endlichem nicht verschwindenden \(s\)-Maß vorausgesetzt. Für die \(s\)-Menge \(A\) werden Dichten im Punkte \(x\) definiert durch \[ \begin{matrix} \l & \l \\ \overline{D}^s_r (A, x) = \limsup\limits_{h \to +0} \dfrac {s\text{-}m[A\times (x, x+h)]}{h^s}, & \underline{D}^s_r (A, x) = \liminf\limits_{h \to +0} \dfrac {s\text{-}m[A\times (x, x+h)]}{h^s}, \\ \overline{D}^s_l (A, x) = \limsup\limits_{h \to +0} \dfrac {s\text{-}m[A\times ( x-h,x)]}{h^s}, & \underline{D}^s_l (A, x) = \liminf\limits_{h \to +0} \dfrac {s\text{-}m[A\times ( x-h,x)]}{h^s}, \\ \overline{D}^s (A, x) = \limsup\limits_{h \to +0} \dfrac {s\text{-}m[A\times (x-h, x+h)]}{(2h)^s}, & \underline{D}^s (A, x) = \liminf\limits_{h \to +0} \dfrac {s\text{-}m[A\times (x-h, x+h)]}{(2h)^s}, \end{matrix} \] ferner für zwei \(s\)-Mengen \(A, B\) Relativdichten \(\overline{D}^s_r \left[ \dfrac AB,x\right]\) usw. von \(A\) bezüglich \(B\) im Punkte \(x\) durch die oberen und unteren Limites für \(h \to + 0\) von \[ \frac {s\text{-}m[A\times (x, x+h)]}{s\text{-}m[B\times (x, x+h)]}, \frac {s\text{-}m[A\times (x-h, x)]}{s\text{-}m[B\times (x-h, x)]}, \frac {s\text{-}m[A\times (x-h, x+h)]}{s\text{-}m[B\times (x-h, x+h)]}. \]
Verf. beweist:
(1) Außerhalb von \(A\) sind die Dichten \(\overline{D}^s_r (A, x)\) usw. fast überall (d. h. bis auf eine Menge vom \(s\)-Maß Null) gleich Null.
(2) Fast überall in \(A\) ist \[ \overline{D}^s_r (A, x) = 1, \quad \underline{D}^s_r(A, x) = 0, \quad \overline{D}^s_l(A, x) = 1, \quad \underline{D}^s_l(A, x) = 0. \]
(3) Wenn \(A \times B = 0\) ist, sind die Relativdichten \(\overline{D}^s_r \left[ \dfrac BA,x\right]\) usw. fast überall in \(A\) gleich Null.
(4) Fast überall in \(A\) gilt \[ \frac 2{\left(2^{1 + \tfrac 1s } - 2\right)^s} \leqq \overline{D}^s (A,x) \leqq 1. \] Die obere Schranke ist genau; die untere Schranke ist genau für \(s \leqq s_0\), zu klein für \(s > s_0\), wobei \(s_0\) durch die Gleichung \[ \left(2^{ \tfrac 1s } - 1\right)^s = \frac 32 \] bestimmt ist (\(s_0\) ist angenähert \(\tfrac 23\)).
(5) Fast überall in \(A\) ist \[ \underline{D}^s(A, x) \leqq \frac 1{2^s} \overline{D}^s(A, x). \] Als genaue untere Schranke für \(\underline{D}^s(A, x)\) ergibt sich Null.
Ist \(f (x)\) eine reelle Funktion, so sind die \(s\)-Derivierten \(\overline{D}^s_l f(x)\) usw. von \(f (x)\) definiert durch die oberen bzw. unteren Limites (für \(h \to +0\)) von \[ \frac{f(x+h)-f(x)}{h^s} \quad \text{ und } \quad \frac{f(x-h)-f(x)}{-h^s}, \] die Maß-\(s\)-Derivierten \(\overline{D}^s_r \left[\dfrac{f(x)}E \right]\) usw. auf einer \(s\)-Menge \(E\) durch die oberen und unteren Limites (für \( h \to + 0\)) von \[ \frac{f(x + h)-f(x)}{s\text{-}m [E \times (x, x+h)]} \quad \text{ und } \quad \frac{f(x-h)-f(x) }{s\text{-}m [E \times (x-h, x)]}. \] Das \(s\)-Integral von \(f(x)\) über eine \(s\)-Menge \(E\) \[ \int\limits_E f(x) \,dx^s \] wird in üblicher Weise definiert als Grenzwert von \(\sum l_i e_i\) für \(\varepsilon \to 0\), wobei die \(l_i\) Teilpunkte einer Einteilung der Zahlengeraden mit Intervallängen \(< \varepsilon\) bedeuten und \(e_i\) das \(s\)-Maß der durch \(l_{i-1} \leqq f(x) < l_i\) definierten Teilmenge von \(E\) ist. (Falls \(E\) \(s\)-Menge von unendlichem \(s\)-Maß ist, wird durch Grenzübergang ein uneigentliches Integral definiert.)
Dann gilt:
(6) Fast überall ist \[ \underline{D}^s_r f(x) \leqq 0, \quad \overline{D}^s_r f(x) \geqq 0, \quad \underline{D}^s_l f(x) \leqq 0, \quad \overline{D}^s_l f(x) \geqq 0. \] Eine von Null verschiedene \(s\)-Derivierte \(\underline{D}^s_r f(x) = {D}^s_r f(x) = \overline{D}^s_r f(x)\) kann also nur in einer Menge vom \(s\)-Maß Null existieren.
(7) \(E\) sei im Intervall \((a, b)\) enthalten; \(f (x)\) sei in \(E\) \(s\)-integrabel und \[ \varPhi (x) = \int\limits_{E\times (a,x)} f(\xi)\, d\xi^s. \] Dann ist fast überall in \(E\) \[ {D}^s_r \left[ \frac {\varPhi (x)}E \right] = \underline{D}^s_r \left[ \frac {\varPhi (x)}E \right] = \overline{D}^s_r \left[ \frac {\varPhi (x)}E \right] = f(x). \]
Für monotone Funktionen \(f (x)\) gelten ferner die folgenden Sätze:
(8) Die Menge der Punkte, für die \[ \overline{D}^s_r [f(x) - \int\limits_{E \times (a, x)} \overline{D}^s_r f(\xi) \, d\xi^s] >0, \] ist vom \(s\)-Maß Null.
(9) Fast überall gilt \[ \overline{D}^s_r f(x) = \overline{D}^s_l f(x). \]
(10) \(E\) sei von positivem \(s\)-Maß. Wenn überall in \(E\) \[ {D}^s_r f(x) = 0, \] so gilt fast überall in \(E\) \[ {D}^s_r \left[ \frac {f(x)}E \right] = 0. \]
(11) Die Menge \(E\) der Punkte, wo wenigstens eine der vier \(s\)-Derivierten von \(f (x)\) von Null verschieden ist, sei von positivem \(s\)-Maß. Dann existiert fast überall in \(E\) die Maß-\(s\)-Derivierte \({D}^s \left[ \dfrac {f(x)}E \right]\) (als gemeinsamer Wert der vier Maß-\(s\)-Derivierten), und es gilt \[ {D}^s \left[ \dfrac {f(x)}E \right] = \overline{D}^s_r f(x) . \]

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References:

[1] ?ber das lineare Ma? von Punktmengen ..., Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu G?ttingen, Math.-phys. Klasse, 1914.
[2] Math. Annalen79 (1918), pp. 157-179.
[3] On the fundamental geometrical properties of linearly measurable sets of points, Math. Annalen98 (1927), pp. 422-464. · JFM 53.0175.04
[4] Math. Zeitschrift27.
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