×

Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten. (German) JFM 55.0770.03

Die Arbeit knüpft an an den Blochschen Satz:
Es gibt eine absolute positive Konstante \(P\) mit folgender Eigenschaft:
Es sei \(f (x)\) für \(| x | \leqq1\) regulär, \(f^\prime (0) = 1\). Dann gibt es eine in \(| x | < 1\) schlicht angenommene offene Kreisfläche des Radius \(P\).
Unter \(\mathfrak B\) (Blochsche Konstante) versteht Verf. die obere Grenze aller dieser \(P\), unter \(\mathfrak L\) die obere Grenze der \(P\), für die der obige Satz unter Weglassung des Wortes “schlicht” gilt, sodaß also \[ 0 < \mathfrak B \leqq \mathfrak L \] gilt.
Zu jedem \(\delta > 0\) existiert also eine den Voraussetzungen des Blochschen Satzes genügende Funktion \(f_\delta(x)\), sodaß jedes schlicht bedeckte Kreisinnere einen Radius \(< \mathfrak B (1 + \delta)\) hat, und eine auch die Voraussetzungen des Blochschen Satzes erfüllende Funktion \(f^*_\delta (x)\), so daß jedes bedeckte Kreisinnere einen Radius \(< \mathfrak L(1 + \delta)\) hat. Im Verlaufe der Arbeit zeigt sich, daß es eine Konstante \(\delta_0 > 0\) gibt, so daß kein \(f_{\delta_0 }^* (x)\) und also kein \(f_{\delta_0}(x)\) schlicht ist.
\(\mathfrak U\) sei die obere Grenze aller Konstanten \(P > 0\), so daß jedes für \(| x | \leqq 1\) reguläre und schlichte \(f (x)\) mit \(f^\prime (0) = 1\) dort eine offene Kreisscheibe des Radius \(P\) annimmt, so daß also \(\mathfrak U \geqq \mathfrak L\) ist.
Der Aufbau der Arbeit ist folgender:
Nach Herleitung zweier funktionentheoretischer Hilfsmittel gibt Verf. zunächst einen sehr einfachen Beweis des Blochschen Satzes von sich und Valiron (Landau, Sitzungsberichte Akad. Berlin 1926, 467-474; F. d. M. 52. Valiron, Rendiconti Palermo 54 (1930), 76-82; F. d. M. \(56_{\text{I}}\) 269) und zeigt, daß die Konstanten \(\mathfrak B, \mathfrak L\) und \(\mathfrak U\) ihren Wert beibehalten, wenn man die zugrunde gelegten Funktionen \(f(x)\) überdies der Bedingung \[ |f^\prime (x)| \leqq \frac 1{1 - |x|^2} \] für \(| x | < 1\) unterwirft.
Dann beweist der Verf. folgenden Satz:
Für \(| x|< \mathfrak R\) sei \[ f (x) = a_1 x + \cdots \] regulär, \[ \begin{matrix} | a_1| = a > 0 \\ |f(x)| \leqq M. \end{matrix} \] Dann bedeckt das Bild den Kreis \[ | Y |< t M, \] wo \( t =1\) für \(M = \mathfrak R a\) und \(t\) für \(M > \mathfrak R a\) die Lösung von \[ \frac { \mathfrak R a}M = \frac {2t}{1-t^2} \log \frac 1t, \quad 0 < t < 1 \] ist. Und zwar ist \(t M \) die größtmögliche Funktion von \( \mathfrak R, a, M\), welche dies leistet.
Verf. beweist zugleich auf einfacherem Wege eine schwächere Fassung dieses Satzes, die auch ausreicht für die Picard-Schottkyschen Sätze.
Mit derselben Methode, die auf den obigen Satz führt, ergibt sich sodann \[ \mathfrak L \geqq 0, 43. \]
Nach oben ergibt sich dann durch einfache Angabe eines Beispiels \[ \mathfrak L \leqq \frac e4 \] und unter Heranziehung von geometrischen Betrachtungen und von Ergebnissen von Carathéodory und Hartogs \[ \mathfrak L \leqq \frac {2^{\frac 23}\pi \varGamma^3 (\frac 13)} {\varGamma^4 (\frac 14)}. \] Für \(\mathfrak B\) teilt Verf. einen von Grandjot herrührenden Beweis von \[ \mathfrak B \geqq \frac {28 -16 \sqrt{2}}{15} \] und die Verschärfung des Grandjotschen Ergebnisses zu \[ \mathfrak B \geqq \underset {0 \leqq r < 1} {\text{Max}} (r - \int_0^r \underset {M \geqq \tfrac 1{1-t^2}} {\text{Min}} \varphi (t, M)\, dt ), \] wo \[ \begin{matrix} R = \sqrt {\dfrac {M-1}M}, \\ \varphi (t, M) = (M^2 - 1) \left[ \dfrac {M-1}{t^2} \dfrac {1+ \dfrac t{(M+1)R}} {\dfrac 1{M+1} + \dfrac tR} - 1\right]^{-1}, \end{matrix} \] (also \(\mathfrak B > 0,39\)) mit.
Für \(\mathfrak U\) hat Reinhardt (Jahresbericht D.M. V. 37, 83-86; F. d.M. 54, 378) \[ \mathfrak U \geq \frac 12 \] bewiesen. Verf. zeigt sogar \[ \mathfrak U \geqq \sqrt{\frac 3{10}}. \] Dann leitet Verf. eine Integralabschätzung her, die von ihm in schwächerer Fassung zum Beweis von \[ \mathfrak U > \mathfrak L \] verwendet, von Valiron unverbesserlich verschärft und in ihrem Beweis von Schoenberg und dem Verf. vereinfach wurde.
Diese Abschätzung führt dann vermittels Löwnerscher Ergebnisse (Math. Ann. 89 (1923), 103-121; F. d. M. 49, 714 (JFM 49.0714.*)-715) zu folgendem Satz:
Es sei \[ f(x) = \frac 1x + a + bx + \cdots \] für \( 0 < | x | < 1\) regulär, \(\not = 0\) und schlicht. Es sei \[ |b| \leqq \varTheta \leqq 1. \] Dann ist \[ |a| \leqq 2V \left( \frac {1 + \varTheta}{4}\right), \] und dies ist die bestmögliche nur von \(\varTheta\) abhängige Schranke. Hierin kann die Konstante \(V\) genau charakterisiert werden.
Schließlich liefert die Valironsche Abschätzung (und auch eine weniger scharfe Abschätzung derselben Art) \[ \mathfrak U \geqq \frac 9{16} \] und also \(\mathfrak U > \mathfrak L\).
In einer großen Zahl von Fußnoten stellt Verf. ferner mehrere Irrtümer und Fehlschlüsse der einschlägigen Literatur richtig. (IV 5.)

Citations:

JFM 49.0714.*
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML Link