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Expansions in generalized Appell polynomials and a class of related linear functional equations. (English) JFM 55.0797.01

Die hier betrachteten verallgemeinerten Appellschen Polynome \(G_n(x)\) werden erzeugt durch die formale Entwicklung \[ e^{tx}(A_0(t) + xA_1(t) + \cdots + x^k A_k(t)) \sim \sum_{n=0}^\infty G_n(x) t^n. \] Dabei sind die \(A_\nu(t)\) formale Potenzreihen; \(k = 0\) entspricht dem ursprünglichen Appellschen Fall. Nimmt man weiter \(A_\nu(t)\) als regulär für \(|t| < R\) (\(\nu = 0, 1, \dots, k\)), \(A_k(t)\) als daselbst höchstens endlich oft verschwindend an, so gilt:
Ist \(y(x) =\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{\lambda_n}{n!} x^n\) eine ganze Funktion der “Stufe” \(< R\) (siehe O. Perron, Math. Ann. 84 (1921), 31-42; F. d. M. 48, 480 (JFM 48.0480.*)-481), so ist auch \(f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \lambda_n G_n(x)\) eine ganze Funktion einer Stufe \(< R\). Ist umgekehrt \(f(x)\) als ganze Funktion der Stufe \(< R\) vorgelegt, so erweist sich das Problem einer “eigentlichen” Entwicklung \[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \lambda_n G_n(x) \] (d. h. einer solchen mit \(\varlimsup \root n\of{|\lambda_n|} < R\)) als gleichwertig mit dem der Lösbarkeit der unendlichen linearen Differentialgleichung \[ \sum_{\nu=0}^k A_\nu[y]x^\nu = f(x) \qquad \left[A[y] = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu \frac{d^\nu y}{dx^\nu}, \;\text{ wenn } \;A(t) = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu t^\nu\right] \tag{1} \] durch eine ganze Funktion \(y(x)\) der Stufe \(\mu < R\), und damit gleichwertig ist wieder die Lösbarkeit der Integralgleichung \[ f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathfrak C} \frac{Y(t)}{t} \sum_{\nu=0}^k x^\nu A_\nu \left(\frac 1t\right) e^{\frac xt} \tag{2} \] (\(\mathfrak C\) einfach geschlossen mit 0 im Innern im Kreisring \(\dfrac1R < |t | < \dfrac 1\mu\)) durch eine Reihe \(Y(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \lambda_n x^n\) vom Konvergenzradius \(\mu\). Falls (1) für alle \(f(x)\) der Stufe \(< R\) eine Lösung der Stufe \(< R\) hat – wofür Perron a. a. O. eine notwendige und hinreichende Bedingung gibt – kann (1) bzw. (2) mittels eines “lösenden Kerns” \(\varLambda (t, x)\) in der Form \[ y(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\mathfrak C} \frac{F(t)}{t} \varLambda \left(\frac 1t, x\right)\, dt \] befriedigt werden. \(\varLambda\) kann so gewählt werden, daß hinsichtlich \(t\) die Differentialgleichung \(k\)-ter Ordnung erfüllt ist: \[ \sum_{\nu=0}^k A_\nu(t) \frac{\partial^\nu \varLambda(t, x)} {\partial t^\nu} = e^{tx} \] (\(F\) geht aus \(f\) wie \(Y\) aus \(y\) hervor).
Für die Fälle \(k = 0\) und \(k = 1\) wird \(\varLambda\) vollständig berechnet. Schließlich werden noch Erweiterungen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher sowie auf unendliche “Laurentsche” Differentialgleichungen gegeben (bei denen iterierte Integration als Differentiation mit negativem Index aufgefaßt wird). (IV 7, 9, 10.)

Citations:

JFM 48.0480.*
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