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Sur les solutions singulières des équations différentielles d’ordre quelconque. (French) JFM 55.0865.01

Singuläre Lösungen sind bisher nur bei Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung diskutiert worden. Eine Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung, die direkt definiert ist, hat im allgemeinen keine singulären Lösungen. Verf. untersucht jedoch die Lösungen einer Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung \((E_n)\), die aus einer Gleichung \[ f(x,y,a_1,\dots,a_n)=0, \tag{1} \] in der \(f\) ein Polynom in allen Variablen ist, durch Elimination der \(n\) wesentlichen Parameter entsteht. \((E_n)\) hat dann im allgemeinen Lösungen, die dem allgemeinen Integral einer Differentialgleichung \((n-1)\)-ter Ordnung \((E_{n-1})\) angehören; jede dieser singulären Lösungen ist, im allgemeinen, eine \(n\)-fach oskulierende Enveloppe von \(\infty^1\) nicht singulären Lösungen. Die singulären Elemente von \((E_{n-1})\) genügen einer anderen Differentialgleichung von der Ordnung \(n - 1\): \((E_{n-1}')\). Auch sie werden untersucht, und es werden ihre Oskulationsbeziehungen diskutiert. So erhält man eine Klassifikation der Integrale von \((E_n)\).
Diese Resultate werden sodann für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen interpretiert, wobei sich Verf. auf den Fall \(n = 3\) beschränkt. Betrachtet man \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) als cartesische Koordinaten des dreidimensionalen Raumes \(S_3\), so stellt die Gleichung (1) mit \(n = 3\) ein vollständiges Integral einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung \((\mathfrak E)\) in \(S_3\) dar. Es entsprechen dann den singulären Lösungen von \((E_3)\) Einhüllende von Charakteristiken einer Integralfläche von \((\mathfrak E)\) mit einer Berührung von der Ordnung \(n\geqq 2\).
Auch für die Theorie der Mongeschen Gleichungen \(n\)-ten Grades ergeben sich Anwendungen. Dazu werden die Kurven betrachtet, die auf einer Schar von \(\infty^n\) Flächen liegen: \[ f(x,y,z,a_1,a_2,\dots,a_n)=0. \] Man erhält aus dieser Gleichung durch Elimination der Parameter \(a\) eine Mongesche Gleichung \(n\)-ter Ordnung. Auch diese Gleichung hat singuläre Lösungen, die Verf. kurz diskutiert. (IV 12.)
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Full Text: EuDML