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On bounded bilinear forms in an infinite number of variables. (English) JFM 56.0335.01
Den Ausgangspunkt bildet die Frage nach einer für \(|x_m|\leqq1\), \(|y_n|\leqq1\) beschränkten Bilinearform \[ Q(x,y)=\sum a_{mn}x_my_n \] (d. h. \[ \Big|\sum_1^M\sum_1^Na_{mn}x_my_n\Big|\leqq H,\quad H=\text{const}, \] für alle \(M\) und \(N\)), für welche \(\sum|a_{mn}|\) divergiert. Eine solche wird leicht durch Zurückführung auf die entsprechende Frage im Hilbertschen Raum (\(\sum x_m^2\leqq K\), \(\sum y_n^2\leqq K\)) konstruiert. Darüber, “wie weit \(\sum|a_{mn}|\) von der Konvergenz entfernt” sein kann, damit \(Q\) noch beschränkt ist, geben folgende Tatsachen Aufschluß:
Man setze \[ \begin{gathered} b_n=\bigg(\sum_{m=1}^\infty\Big|a_{mn}\Big|^2\bigg)^{\frac12},\quad c_m=\bigg(\sum_{n=1}^\infty\Big|a_{mn}\Big|^2\bigg)^{\frac12},\\ \sum_{n=1}^\infty b_n=B,\quad \sum_{m=1}^\infty c_m=C,\quad \bigg(\sum\sum\Big|a_{mn}\Big|^{\frac43}\bigg)^{\frac34}=D. \end{gathered} \] \(B\), \(C\), \(D\) können auch gleich \(+\infty\) sein. Damit \(|Q|\leqq H\) für \(|x_m|\leqq1\), \(|y_n|\leqq1\) ist, ist notwendig, daß \(B\), \(C\), \(D\) unterhalb \(AH\) liegen, wo \(A\) eine absolute Konstante ist.
Ferner gilt: Gegeben drei Folgen positiver Zahlen (\(p_m\), \(q_n\), \(r_{mn}\)) mit \[ \lim_{m\to\infty}p_m=\lim_{n\to\infty}q_n=\lim_{m,n\to\infty}r_{mn}=\infty. \] Es existiert ein beschränktes \(Q\) so, daß \[ \sum p_nb_n,\;\sum q_mc_m,\;\sum\sum r_{mn}\Big|a_{mn}\Big|^{\frac43} \] divergieren.
Der Beweis der ersten Aussage stützt sich im Wesentlichen auf ein vom Verf. früher schon benütztes Mittelwertprinzip (vgl. Proceedings L. M. S. (2) 25 (1926), 328-337; F. d. M. 52). Der der zweiten ergibt sich elementar.
Endlich besteht zwischen der Konvergenz von \(\sum a_{mn}x_my_n\) und der Beschränktheit von \(Q\) folgender Zusammenhang:
Wenn \(|Q|\leqq H\) ist für \(|x_m|\leqq1\), \(|y_n|\leqq1\), so konvergiert \(\sum a_{mn}x_my_n\) für die selben \(x_m\), \(y_n\) im Sinne von Pringsheim gleichmäßig.
Wenn umgekehrt die Reihe \(\sum a_{mn}x_my_n\) für alle \(|x_m|\leqq1\), \(|y_n|\leqq1\) konvergiert, so ist \(Q\) beschränkt.

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