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Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen. (German) JFM 56.0355.01
Der Fixpunktsatz wurde zuerst von Birkhoff und Kellogg in speziellen Funktionsfoldern, dann vom Verf. in allen Räumen, die eine lineare Basis besitzen, bewiesen. In dieser Arbeit wird auch diese Voraussetzung vermieden und die Aussage weiter verallgemeinert.
Satz I gilt für einen linearen, metrischen, vollständigen Raum \(E\), der den von S. Banach auf gestellten Axiomen genügt:
(1) \(\overline{x, y }\) sei die Entfernung der Elemente \(x, y\), und \(\theta\) bezeichne das Nullelement. Dann soll sein: \[ \overline{x, y } = \overline{x- y, \theta }. \]
(2) Aus \[ \overline{x_n, x } \to 0, \quad \overline{y_n, y } \to 0 \] folgt \[ \overline{x_n + y_n, x+y} \to 0. \]
(3) Ist \(\{\lambda_n\}\) eine Folge von reellen Zahlen und \(\{x_n\}\) eine Elementenfolge aus \(E\), und gilt \[ \lambda_n \to \lambda, \quad \overline{x_n, x} \to 0, \] so folgt \[ \overline{\lambda_n x_n, \lambda x} \to 0. \]
Satz I. Die stetige Funktionaloperation \(F (x)\) bilde die konvexe, abgeschlossene, kompakte Menge \(H\) des Raumes \(E\) auf sich selbst ab. Dann gibt es einen Fixpunkt \(x_0\), d.h. \[ F(x_0) = x_0. \]
Für die von S. Banach in seiner Dissertation betrachteten linearen, normierten, vollständigen Räume (\(B\)-Räume) kann man auf die Kompaktheit von \(H \) verzichten. Das führt zu
Salz II. In einem \(B\)-Raum sei eine konvexe, abgeschlossene Menge \(H\) gegeben. Die stetige Funktionaloperation \(F (x)\) bilde \(H\) auf sich selbst ab. Ferner sei die Menge \(F (H)\) in \(H\) kompakt. Dann ist ein Fixpunkt vorhanden.
Um den Satz III, der die Existenz einer linearen Basis des Raumes nicht mehr voraussetzt, aussprechen zu können, müssen folgende Definitionen vorausgeschickt werden:
Die Elementenfolge \(\{x_n\}\) konvergiert schwach gegen \(x\), wenn für jedes lineare, stetige Funktional \(A (x)\) die Beziehung \[ A(x_n) \to A(x) \] gilt. Eine Menge heißt schwach kompakt, wenn in jeder Elementenfolge eine sehwach konvergente Teilfolge existiert. Eine Menge heißt schwachabgeschlossen, wenn mit jeder schwach konvergenten Folge \(\{x_n\}\) in \(H\) auch ihre “schwache” Grenze zu \(H\) gehört. Eine Funktionaloperation \(F(x)\) heißt schwachstetig, wenn aus der schwachen Konvergenz von \(x_n\) gegen \(x\) die von \(F(x_n)\) gegen \(F(x)\) folgt. Ein Raum heißt separabel, wenn in ihm eine überall dichte Menge vorhanden ist.
Satz III. Es sei ein separabler Raum vom Typus \(B\) gegeben. Wenn eine darin gelegene konvexe, schwach kompakte, schwachabgeschlossene Menge \(H\) mittels einer schwachstetigen Funktionaloperation \(F(x)\) auf sich selbst abgebildet wird, so gibt es einen Fixpunkt. (V 2.)

MSC:
47H10 Fixed-point theorems
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