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Untersuchungen über das Delaunaysche Problem der Variationsrechnung. (German) JFM 56.0433.02
Von allen Raumkurven \(\mathfrak d\) mit stetig sich ändernder Tangente und fester Krümmung 1, die zwei gegebene Punkte \(A\), \(B\) verbinden, sollen diejenigen bestimmt werden, deren Bogenlänge ein Größt- oder Kleinstwert ist. Verf. legt zunächst die Geschichte dieses Problems \(\mathfrak D\) von Delaunay (1842) ausführlich dar. Außer Delaunay förderten es Jellett (1850), Todhunter (1861), Moigno-Lindelöf (1861), H. A. Schwarz, Weierstraß (1884), Venske (1891), Axel Schur (1921), Radon (1921), Blaschke (1921), Erhard Schmidt (1925). Die vorliegende Arbeit bedeutet auch eine Urkunde über Schwarz’ Beiträge zur Lösung, von denen manche Einzelheiten nirgends genau verzeichnet sind. – Die Sätze von Schwarz benutzend, behandelt Verf. eine Abwandlung \(\mathfrak C\) des Problems \(\mathfrak D\), bei der statt der Kurven \(\mathfrak d\) solche \(\mathfrak c\) betrachtet werden, deren (vordere) Tangente in \(A\) gegeben ist, und deren sämtliche Teilbögen \(\mathfrak T\) eine Durchschnittsbiegung \(b\leqq 1\) besitzen. Dabei ist \(b=\theta\): \(s\), wo \(\theta\) den Winkel der Tangenten am Anfang und Ende von \(\mathfrak T\) und \(s\) die Länge von \(\mathfrak T\) bedeutet. Zunächst bestimmt Verf. die allerkürzeste Extremale \(e_0\) des Problems \(\mathfrak C\) zwischen dem Ursprung \(A\), in dem die \(z\)-Achse die gegebene Tangente sei, und dem Punirte \(B\) (\(x\geqq 0\), \(y=0\)). Liegt \(B\) erstens nicht innerhalb des Kreises \[ (x-1)^2+z^2=1, \tag{\(\mathfrak K_1\)} \] so besteht \(e_0\) aus einem Bogen \(K_1\) von \(\mathfrak K_1\) und, wenn \(B\) nicht auf \(\mathfrak K_1\) liegt, noch aus einer geraden Strecke, die \(K_1\) in seinem Endpunkte berührt. Liegt \(B\) dagegen innerhalb \(\mathfrak K_1\), so zeichne man durch \(B\) den Einheitskreis \(\mathfrak K\), der den Kreis \[ (x+1)^2+z^2=1 \tag{\(\mathfrak K_2\)} \] in \(C\) (\(z > 0\)) berührt. \(\mathfrak K\) treffe die \(z\)-Achse in \(E\); ist dann \(\alpha < \pi\) der Bogen \(AC\) von \(\mathfrak K_2\) und \(\beta>\pi\) der Bogen \(CEB\) von \(\mathfrak K\), so ist \(e_0\) die aus \(\alpha\) und \(\beta\) zusammengesetzte \(s\)-förmige Kurve. Ist \(\lambda_0\) die Länge von \(e_0\), so ist in beiden Fällen \(e_0\) die einzige Extremale von der Lange \(\lambda_0\). Liegt \(B\) (\(z\geqq 0\)) außerhalb von \(\mathfrak K_1\) und \(\mathfrak K_2\), und hat \(B\) von \((-1,0, 0)\) einen Abstand \(< 3\), so lassen sich weitere Extremalen angeben. Man zeichne nämlich durch \(B\) die beiden Einheitskreise \(\mathfrak E_1\) und \(\mathfrak E_2\), die \(\mathfrak K_2\) in \(C_1\) und \(C_2\) berühren; ihre Schnittpunkte mit der \(+ z\)-Achse seien \(E_1\) und \(E_2\). Sind dann \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) die Bögen \(AC_1\), \(AC_2\) von \(\mathfrak K_2\), ferner \(\beta_1<\pi\), \(\beta_2>\pi\) die Bögen \(C_1E_1B\) von \(\mathfrak E_1\), \(C_2E_2B\) von \(\mathfrak E_2\), so erweisen sich die aus \(\alpha_1\) und \(\beta_1\) bzw. \(\alpha_2\) und \(\beta_2\) zusammengesetzten s-förmigen Kurven als Extremalen \(e_1\) bzw. \(e_2\); \(e_1\) liefert einen Größtwert \(\lambda_1\), \(e_2\) einen Kleinstwert \(\lambda_2\) der Bogenlänge. Die Länge \(l\) einer Kurve \(\mathfrak c\) kann beliebig gewählt werden: nur muß \(l\geqq\lambda_0\) sein, wenn \(B\) außerhalb des Drehkörpers \(R\) um die \(z\)-Achse liegt, dessen Meridian aus der oberen Hälfte von \(\mathfrak K_1\) und dem \(\mathfrak K_1\) in \((1, 0, 0)\) berührenden Kreisbogen vom Halbmesser 3 bis zu seinem Schnittpunkt mit der \(+ z\)-Achse besteht; wenn \(B\) dagegen innerhalb \(R\) liegt, so muß \(\lambda_0\leqq l\leqq \lambda_1\) oder \(\lambda_2\leqq l\) sein. Verf. beantwortet dann die Frage nach dem Orte \(\mathfrak B\) des Endpunktes \(B\) der Kurve c von gegebener Länge \(l\), wenn ihr Anfangspunkt \(A\) und die Tangente in \(A\) an \(\mathfrak c\) vorgeschrieben ist. Es sei etwa \(l\leqq\pi\). \(H\) bzw. \(L\) seien die Punkte \((0,0,l)\) bzw. \((2,0,0)\); \(K\) sei der Schnittpunkt von \(AH\) mit der Kardioide \(\mathfrak k\), die der Punkt \(L\) beschreibt, wenn \(\mathfrak K_1\) auf \(\mathfrak K_2\) rollt. Dann entsteht \(\mathfrak B\) durch Drehung der aus dem Bogen \(KL\) von \(\mathfrak k\) und dem Bogen \(LH\) der Evolvente von \(\mathfrak K_1\) bestehenden Kurve um die Achse \(KH\). Ähnliches Ergebnis für \(\pi<l<\frac32\pi+1\). Ist \(\frac32\pi+1\leqq l< 6{,}8345\ldots\), so hat \(\mathfrak B\) eine Aushöhlung. Für \(l\geqq 6{,}8346\ldots\) ist \(\mathfrak B\) wieder vom Zusammenhang der Kugel. – Nach dieser Erledigung aller geometrisch wichtigen Fragen zeigt Verf., daß \(e_0\), \(e_1\), \(e_2\) starke Extremalen sind. Um dies für \(e_1\) darzutun, beweist er für \(l\) die Halbstetigkeit nach oben. -Die Rückkehr zum Probleme \(\mathfrak D\) wird dadurch ermöglicht, daß man in beliebiger Nachbarschaft einer Kurve \(\mathfrak c\), auf deren sämtlichen Teilbögen \(b\leqq\beta<1\) ist, eine Kurve \(\mathfrak d\) finden kann, die Anfangs- und Endelemente mit \(\mathfrak c\) gemein hat. – Die Frage nach der Gesamtheit der starken Extremalen bleibt bei \(\mathfrak E\) und \(\mathfrak D\) noch offen. (V 6 B.)

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