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The problem of Lagrange in the calculus of variations. (English) JFM 56.0435.01
Die Arbeit enthält eine zusammenhängende Darstellung der klassischen Theorie folgender Variationsaufgabe: Gesucht sind \(n\) stetige Funktionen \[ y_i=y_i(x)\qquad (x_1\leqq x\leqq x_2; \;i=1,2,\ldots,n) \] mit stückweise stetigen ersten Ableitungen, welche den Bedingungen \[ \varPhi_{\alpha}(x,y_1,\ldots,y_n,y_1',\ldots,y_n')=0\qquad (\alpha=1,2,\ldots,m<n) \]
\[ \displaylines{\rlap{\text{und}}\hfill y_i(x_1)=y_i^{(1)},\;y_i(x_2)=y_i^{(2)} \hfill } \] genügen, sowie dem Integral \[ y=\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x,y_1,\ldots,y_n,y_1',\ldots,y_n')dx \] ein Minimum erteilen. Dabei sollen \(f\) und \(\varPhi_{\alpha}\) in einem Stück des \((x,\ldots,y_n')\)-Raumes stetige Ableitungen bis zur vierten Ordnung haben.
Auch der Fall variabler Endpunkte wird berücksichtigt. Die Euler-Lagrangesche Multiplikatorenregel wird in folgender Form bewiesen: Zu jedem Bogen \(E_{12}\), der dem Integral \(I\) ein Minimum erteilt, gibt es \(n+1\) Konstanten \(\lambda_0\), \(c_1,\ldots,c_n\) (\(\lambda_0\neq 0\)) und nicht sämtlich identisch verschwindende Funktionen \(\lambda_1(x),\ldots, \lambda_m(x)\), so daß mit \[ F(x,y,y',\lambda)=\lambda_0 f+\lambda_1\varPhi_1+\cdots+\lambda_m\varPhi_m \] die Gleichungen \[ F_{y_i'}=\int\limits_{x_1}^x F_{y_i}dx+c_i \tag{1} \] in jedem Punkt von \(E_{12}\) erfüllt sind. Die Funktionen \(\lambda_1(x),\ldots, \lambda_m(x)\) sind höchstens in den Ecken von \(E_{12}\) unstetig. Die übliche Form der Differentialgleichungen des Variationsproblems erhält man hieraus durch Differentiation von (1) nach \(x\). Aus der Stetigkeit der rechten Seite von (1) folgt sofort die Eckenbedingung \[ F_{y_i'}\left(x,y,y'(x-0),\lambda(x-0)\right)= F_{y_i'}\left(x,y,y'(x+0),\lambda(x+0)\right). \tag{2} \] Sind die Endpunkte variabel, so tritt die Transversalitätsbedingung hinzu. Es folgen sodann Anwendungen auf elf Beispiele der Geometrie und Mechanik.
Anschließend werden die Analoga der Legendreschen und Weierstraßschen notwendigen Bedingungen hergeleitet. Hier weicht die Darstellung von der üblichen ab; es wird nämlich benutzt, daß \(I\) ein Differential der Form \[ \lambda_0 dy=\left. F dx+(dy_i-y_i'dx)F_{y_i'}\right|_3^4 \] hat. Weiter werden die Analoga zu der Bedingung von Jacobi, sowie zu der Theorie der konjugierten Punkte behandelt. Endlich werden die hinreichenden Bedingungen mit der Weierstraßschen \(E\)-Funktion aufgestellt. Die Beweisgänge schließen sich, jedoch mit verschiedenen Vereinfachungen, denen von A. Mayer, Hilbert, Hahn, A. Kneser und Bolza an. Ein historischer Überblick beschließt die Arbeit.

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