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On Plateaus problem. (English) JFM 56.0437.02
In einer Arbeit in den Annales Ecole norm. (3) 45 (1928), 53-144 (F. d. M. 54, 748 (JFM 54.0748.*)-749) hat R. Garnier das Plateausche Problem ohne einschränkende Voraussetzungen über die Gestalt der Randkurve behandelt. In der ersten der beiden vorliegenden Arbeiten vereinfacht Verf. den Grenzübergang von der Lösung des Plateauschen Problems mit polygonaler Randkurve zur Lösung für beliebige rektifizierbare Randkurven durch den Beweis des folgenden Konvergenzsatzes:
\(\varGamma^*_n\) sei eine Folge von einfach geschlossenen Kurven im \((x,y,z)\)-Raum mit folgenden Eigenschaften: \((\alpha)\) die Längen \(l(\varGamma^*_n)\) der \(\varGamma^*_n\) sind gleichmäßig beschränkt; \((\beta)\) das Plateausche Problem (das in der Weierstraßschen Form unter Bezugnahme auf isotherme Parameter aufgestellt wird) sei für jedes \(\varGamma^*_n\) lösbar (\(n = 1, 2,\dots)\); \((\gamma)\varGamma^*_n\) konvergiere im Fréchetschen Sinne gegen eine einfach geschlossene Kurve \(\varGamma^*\). Dann ist das Plateausche Problem auch für \(\varGamma^*\) lösbar.
In der zweiten Arbeit zeigt Verf., daß man zu einer Lösung des Plateauschen Problems für Polygone gelangen kann, indem man zunächst “Approximationslösungen” in folgendem Sinne konstruiert:
Die Lösung des Plateauschen Problems erfordert bekanntlich die Bestimmung von drei Funktionen \(x(u, v)\), \(y(u,v)\), \(z(u,v)\), die (1) für \(u^2+v^2<1\) harmonisch sind; (2) für \(u^2+ v^2 < 1\) den Bedingungen \[ E = G,\quad F = 0 \] genügen, wobei \(E\), \(F\), \(G\), die ersten Fundamentalgrößen der Fläche sind; (3) für \(u^2+v^2\leqq 1\) stetig sind und den Kreis \(u^2 + v^2<1\) eineindeutig auf die gegebene Randkurve abbilden.
Bei einer Approximationslösung wird die Bedingung (2) durch die folgende ersetzt: \[ \iint|F|<\varepsilon,\qquad\iint(\sqrt{E}-\sqrt{G})^2<\varepsilon \tag{2*} \] wobei die Integration über \(u^2+v^2 < 1\) zu erstrecken ist.
Bei der Bestimmung einer solchen Näherungslösung sind noch gewisse “Randbedingungen” willkürlich: man kann noch verlangen, daß drei willkürliche Punkte \(A\), \(B\), \(C\) in drei Punkte \(A^*\), \(B^*\), \(C^*\) der gegebenen Randkurve übergehen.
Solche Näherungslösungen erhält man, indem man, ausgehend von der Annahme, daß eine Minimalfläche eine Fläche kleinsten Flächeninhalts sei, eine Folge von aus Dreiecken aufgebauten Polyedern herstellt, deren Oberfläche gegen die untere Grenze der Flächeninhalte der von dem gegebenen Randpolygon angegebenen Flächen konvergieren. Dabei ist jedes Dreieck im Raume das durch harmonische Funktionen vermittelte Bild eines (krummlinig) begrenzten Dreiecks im Einheitskreis. Die Existenz einer solchen Approximation ergibt sich aus einem allgemeinen Satz über konforme Abbildung Riemannscher Mannigfaltigkeiten (Koebe, 1917, 1927; F. d. M. 46, 545; 53, 320-321). Die “Randbedingungen” lassen sich dabei ebenfalls erfüllen. Sie sind wichtig bei der Durchführung des Konvergenzbeweises der Näherungslösungen. (V 6 B.)

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