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Vorlesungen über Grundlagen der Geometrie. (German) JFM 56.0483.01
X + 147 S. 37 Fig. Berlin, J. Springer (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Bd. 32) (1930).
Nach Hilbert besagt der Desarguessche Satz für die lineare Geometrie der Ebene, daß die Streckenverhältnisse einen Schiefkörper bilden, und die Gültigkeit des Pascalschen Satzes ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Streckenverhältnisse einen Körper bilden. Im vorliegenden Buch wird ein Zugang zu diesen beiden Sätzen und ein Axiomensystem der ebenen linearen Geometrie unter dem Gesichtspunkt gewonnen, daß jedes Verknüpfungsgesetz der Streckenrechnung seinen Ausdruck finden muß in einem geometrischen Schließungssatz. Als geeignetes Hilfsmittel für diese Untersuchungen erweist sich – in Bestätigung einer von W. Blaschke auf dem Kongreß in Bologna ausgesprochenen Vermutung (Atti Congresso Bologna 4 (1931), 285-289; F. d. M. 57\(_{\text{I}}\)) – die Geometrie der Kurvengewebe, die im zweiten Teil des Buches eine axiomatische Darstellung findet. (Vgl. hierzu eine Arbeit des Verf. in M. Z. 29 (1928), 427-435 (F. d. M. 54, 746 (JFM 54.0746.*)) und eine Arbeit von G. Thomsen in Abhandlungen Hamburg 7 (1929), 99-106 (F. d. M. 55\(_{\text{II}}\)).)
Der erste Teil des Buches (Analytischer Aufbau der Geometrie) enthält in knapper prägnanter Darstellung im wesentlichen bekannte Dinge: Nachdem in der Einleitung am Beispiel der Bewegungsgruppe und der Kongruenz die Bedeutung des Gruppenbegriffs für die analytische Geometrie erläutert worden ist, werden im ersten Kapitel (Gruppen von Transformationen) die Grundgedanken eines gruppentheoretischen Aufbaus der Geometrie im Sinne von Klein und Lie systematisch dargestellt. In diesem Zusammenhang werden die Begriffe: lineare, projektive, affine Transformation, lineare Abhängigkeit, Vektor, Punkt in ihrer analytischen Bedeutung eingeführt. Das zweite Kapitel (Grundlagen der Algebra) behandelt in axiomatischer Form die Körper, Schiefkörper und einseitig distributiven Zahlsysteme. Für diese letzte Art von Zahlsystemen wird ein Beispiel von Dickson (Nachrichten Göttingen 1905, 358-393; F. d. M. 36, 138 (JFM 36.0138.*)-139) angegeben. Im letzten Kapitel des ersten Teils wird – wegen der Schiefkörper in determinantenfreier Form – die lineare Algebra entwickelt und die \(n\)-dimensionale affine Geometrie über einem Schiefkörper aufgebaut.
Im zweiten Teil des Buches (Axiomatischer Aufbau der Geometrie) beschränkt sich Verf. auf die zweidimensionale Geometrie. In der Einleitung werden – wie übrigens auch an manchen andern Stellen – grundsätzliche Bemerkungen über Axiomensysteme gemacht. Kapitel 4 (Gewebe und Gruppen) ist der axiomatischen Untersuchung der 3-Gewebe gewidmet. Ein 3-Gewebe ist ein Kurvensystem, wie es z. B. durch drei Scharen paralleler Geraden in der affinen Ebene dargestellt wird. Übrigens fällt -und das wird später bei der Untersuchung der 4-Gewebe benutzt – auch das von zwei Parallelenscharen und einem Strahlenbüschel gebildete Kurvensystem unter den Begriff des 3-Gewebes. Für das 3-Gewebe werden drei Axiomengruppen aufgestellt: die Inzidenzaxiome I 1 – I 7, die Anordnungsaxiome A 1 – A 6, das archimedische Axiom, das Stetigkeitsaxiom und zwei Schließungssätze \(\varSigma _1\) und \(\varSigma _2\). Diese letzten Sätze lauten, wenn die drei Parallelenscharen als \(\mathfrak A\)-, \(\mathfrak B\)-, \(\mathfrak C\)-Scharen unterschieden werden:
\(\varSigma _1\): Bestimmen die Punktepaare \[ \begin{matrix}\l&\;\l&\;\l&\;\l&\;\l&\;\l\\ P_1P_2, &Q_1Q_2, &R_1R_2, &S_1S_2 &\text{vier} &\mathfrak A\text{-Geraden},\\ P_1Q_1, &P_2Q_2, &S_2R_2, &S_1R_1 &\text{vier} &\mathfrak B\text{-Geraden},\\ S_1P_1, &R_1Q_1, &R_2Q_2 & &\text{drei} &\mathfrak C\text{-Geraden}, \end{matrix} \] so bestimmt auch \(S_2P_2\) eine \(\mathfrak C\)-Gerade.
\(\varSigma _2\): Liegen die Punktepaare \[ \begin{matrix}\l&\;\l&\;\l&\;\l&\;\l\\ P_1P_2, &Q_1R_1, &Q_2R_2 &\text{auf drei verschiedenen} &\mathfrak A\text{-Geraden},\\ R_1R_2, &Q_2P_2, &Q_1P_1 &\text{auf drei verschiedenen} &\mathfrak B\text{-Geraden},\\ Q_1Q_2, &P_2R_1 & &\text{auf zwei verschiedenen} &\mathfrak C\text{-Geraden},\\ \end{matrix} \] so liegen auch \(R_2 P_1\) auf einer \(\mathfrak C\)-Geraden.
Die Axiomengruppe I ermöglicht auf jeder Geradenschar die Definition der Vektorgleichheit durch Übertragung der Vektoren mit Hilfe der Geraden einer der beiden andern Scharen. Die Transitivität und Eindeutigkeit der Vektorgleichheit wird durch \(\varSigma _1\) gesichert. Die Vektorzusammensetzung auf jeder Geradenschar definiert eine Gruppe, und die Vektorgruppen der drei Scharen erweisen sich als isomorph. Zeichnet man zwei Geraden aus zwei verschiedenen Scharen – etwa der \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Schar – als Koordinatenachsen aus, so kann das Gewebe analytisch durch die Elementenpaare der (abstrakt gedachten) Vektorgruppe des Gewebes dargestellt werden; die \(\mathfrak C\)-Geraden lassen dabei eine Parameterdarstellung mit Hilfe des durch sie vermittelten Isomorphismus zwischen der \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Vektorgruppe, d. h. eines Automorphismus der abstrakten Vektorgruppe, zu. Ist umgekehrt eine Gruppe und ein Automorphismus der Gruppe gegeben, so ist dadurch in der beschriebenen Weise ein 3-Gewebe analytisch definiert. Die Punkttransformationen des Gewebes in sich, die die drei Geradenscharen in sich überführen, insbesondere auch die Translationen, lassen sich analytisch durch Automorphismen der Vektorgruppe darstellen. Ersetzt man nun \(\varSigma _1\) durch den Satz \(\varSigma _2\), in dem \(\varSigma _1\) enthalten ist, so folgt daraus die Kommutativität der Vektorgruppe; umgekehrt folgt \(\varSigma _2\) aus \(\varSigma _1\), und der Kommutativität, aber nicht aus \(\varSigma _1\) allein. Durch die Axiomengruppe \(A\) wird die Vektorgruppe geordnet. Der durch die \(\mathfrak C\)-Geraden vermittelte Isomorphismus der \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Vektorgruppen erweist sich als ordnungserhaltend. Durch das archimedische Axiom wird die Ordnung der Vektorgruppe archimedisch, diese Gruppe also einer Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen isomorph. Das Stetigkeitsaxiom ermöglicht die Streckenhalbierung, und aus den letztgenannten Axiomen in Verbindung mit einem speziellen Fall von \(\varSigma _1\), der Sechseckfigur, folgt jetzt \(\varSigma _2\). Zum Schluß werden die 3-Gewebe, die aus Geraden einer über einem Schiefkörper definierten affinen Ebene bestehen, im Hinblick auf die in ihnen geltenden Axiome zusammengestellt. Es ergibt sich mit Rücksicht auf die in die affine Ebene eingebetteten 3-Gewebe der Satz: Jede Kollineation der affinen Ebene hat die Gestalt \[ x_1'=a_{11}J(x_1) + a_{12}J(x_2) + a_{10},\quad x_2'=a_{21}J(x_1) + a_{22}J(x_2) + a_{20}, \] wobei \(J(x)\) einen Isomorphismus des Schiefkörpers der \(a\) bedeutet.
Die 3-Gewebe kennzeichnen die affine Ebene noch nicht. Im fünften Kapitel (Die Vektoren der affinen Ebene) wird daher die Kennzeichnung der affinen Ebene durch Schließungssätze in 4-Geweben vollzogen. Durch das Axiomensystem I 8 – I 11 (Inzidenzaxiome), das zu den für das \(\mathfrak {A B C}\)-Gewebe geforderten I 1 – I 7 hinzugefügt wird, ist ein 4-Gewebe \(\mathfrak {A B C D}\) definiert, bei dem die Geraden der \(\mathfrak D\)-Schar alle durch einen festen Punkt \(D\) gehen; in diesem Axiomensystem wird für jede \(\mathfrak D\)-Gerade Existenz eines Schnittpunktes mit jeder \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Geraden, aber nicht Existenz eines Schnittpunktes mit jeder \(\mathfrak C\)-Geraden gefordert. An neuen Axiomen werden im Verlauf der Untersuchung eingeführt das Parallelenaxiom, das einige Inzidenzaxiome überflüssig macht und mit den verbleibenden Inzidenzaxiomen zu einem später in das Axiomensystem der affinen Geometrie übernommenen System von Inzidenzaxiomen I \(\alpha \) 1 – I \(\alpha \)5 zusammengefaßt wird, und zwei Schließungssätze \(\varSigma _3\) und \(\varSigma \delta \):
\(\varSigma _3\): Sind \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) drei Punkte der \(\mathfrak A\)-Geraden durch \(D\), \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) die Schnittpunkte der \(\mathfrak B\)-Geraden durch \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) mit einer \(\mathfrak D\)-Geraden \(\delta \) und \(P_1^*\), \(P_2^*\), \(P_3^*\) die Schnittpunkte der \(\mathfrak A\)-Geraden durch \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) mit der \(\mathfrak B\)-Geraden durch \(D\), und ist \(DP_1\equiv P_2P_3\), so ist auch \(DP_1^*\equiv P_2^*P_3^*\) (\(\equiv \) bedeutet “vektorgleich”).
\(\varSigma \delta \) (Kleiner Desarguesscher Satz für \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Geraden): Sind \(P_1Q_1\), \(P_2Q_2\), \(P_3Q_3\) drei Strecken auf \(\mathfrak A\)-Geraden (\(\mathfrak B\)-Geraden), und ist \(P_1P_2\) parallel \(Q_1Q_2\), \(P_2P_3\) parallel \(Q_2Q_3\), so ist auch \(P_1P_3\) parallel \(Q_1Q_3\).
Setzt man für das 4-Gewebe I 1 – I 11, ferner \(\varSigma _3\) und für das \(\mathfrak {A B C}\)-Gewebe noch \(\varSigma _1\) voraus, so ist die in \(\varSigma _3\) vollzogene Zuordnung (dem durch \(DP\) bestimmten \(\mathfrak A\)-Vektor wird der durch \(DP^*\) bestimmte \(\mathfrak B\)-Vektor zugeordnet) ein Isomorphismus, und umgekehrt folgt aus der Voraussetzung, daß diese Zuordnung ein Isomorphismus sein soll, wieder \(\varSigma _3\). Für diese durch die \(\mathfrak D\)-Geraden vermittelten “Geradenisomorphismen” gilt: Es gibt immer einen und nur einen Geradenisomorphismus, der einen gegebenen \(\mathfrak A\)-Vektor in einen gegebenen \(\mathfrak B\)-Vektor überführt. \(\varSigma _3\) ermöglicht weiter die Konstruktion einer Parallele zu jeder \(\mathfrak D\)-Geraden durch einen vorgeschriebenen Punkt. Die Gesamtheit der Punkte und der so konstruierten Geraden wird nun – in Verallgemeinerung des bisherigen Begriffs – als affine Ebene bezeichnet. \(\varSigma _1\) und \(\varSigma _3\) zusammen erweisen sich nun als äquivalent mit \(\varSigma \delta \). Bezeichnet jetzt \(\mathfrak E\) die Schar der zu einer beliebigen \(\mathfrak D\)-Gerade \(\varepsilon \) parallelen Geraden, so kann eine Vektorgleichheit für \(\mathfrak E\)-Geraden definiert werden. Der Satz \(\varSigma \delta \) führt weiter, immer unter Bevorzugung der \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Geraden, zu einer Reihe von Dreieckssätzen, zu einer Definition der Proportionalität, die aber noch nicht transitiv ist (die Transitivität folgt erst aus \(\varSigma _1\) für das \(\mathfrak {ABD}\)-Gewebe), und zur Definition der Zusammensetzung nicht paralleler Vektoren. Ferner wird die Möglichkeit der \(n\)-Teilung eines Vektors bewiesen und die affine Ebene mit einem “rationalen Netz” von Punkten und Geraden überdeckt. Die Geraden und Punkte des Netzes bilden die affine Geometrie, die aus dem Körper der rationalen Zahlen hervorgeht, und die Forderung, daß das 4-Gewebe durch sein rationales Netz erschöpft sei, kennzeichnet diese Geometrie. Stellt man diese Forderung nicht, so sichern die Anordnungsaxiome und das archimedische Axiom, daß die Geometrie des 4-Gewebes die affine Geometrie über einem Körper reeller Zahlen sei. Ersetzt man den Satz \(\varSigma _1\) für das \(\mathfrak {ABC}\)-Gewebe durch \(\varSigma _2\), so folgt aus dem Satz \(\varSigma \delta \) für die \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Geraden eine Erweiterung der Gültigkeit des kleinen Desarguesschen Satzes auf \(\mathfrak E\)-Geraden, und umgekehrt läßt sich aus der Gültigkeit des kleinen Desarguesschen Satzes in der allgemeinen Form zusammen mit \(\varSigma _1\) auf die Gültigkeit von \(\varSigma _2\) für das \(\mathfrak {ABC}\)-Gewebe schließen. Will man aber in ähnlicher Weise aus der erweiterten Gültigkeit des Desarguesschen Satzes auf die Gültigkeit von \(\varSigma _2\) im \(\mathfrak {ABE}\)-Gewebe schließen, so bereitet das Fehlen eines Existenzsatzes für Schnittpunkte von nicht parallelen Geraden, von denen keine eine \(\mathfrak A\)- oder \(\mathfrak B\)-Gerade ist, Schwierigkeiten. Hier setzt das Parallelenaxiom ein, das jetzt die Bevorzugung einzelner Parallelenscharen beseitigt. Man erhält den Satz: Die affinen Geometrien, die aus Körpern reeller Zahlen erklärt sind, sind durch die (das Parallelenaxiom umfassenden) Inzidenzaxiome I\(\alpha \)1 – I\(\alpha \)5, die Anordnungsaxiome A1 – A6, das archimedische Axiom und den Satz \(\varSigma \delta \) für zwei Scharen paralleler Geraden gekennzeichnet. Der uneingeschränkte kleine Desarguessche Satz führt nun wieder zu Dreieckssätzen und zu einer Proportionenlehre ohne Bevorzugung von \(\mathfrak A\)- und \(\mathfrak B\)-Geraden.
Für 4-Gewebe, die einer über einem Schiefkörper erklärten affinen Ebene entnommen sind, gilt \(\varSigma _1\) nicht nur, wie vorausgesetzt, im \(\mathfrak {ABC}\)-Gewebe, sondern auch im \(\mathfrak {ABD}\)-Gewebe. Daher werden in Kapitel 6 (Gewebe und Zahlensysteme) 4-Gewebe untersucht, für die \(\varSigma _1\) im \(\mathfrak {ABC}\)- und im \(\mathfrak {ABD}\)-Gewebe, ferner \(\varSigma _3\) gilt; außerdem sollen I 1 – I 11 gelten. Dann bilden die Geradenautomorphismen der \(\mathfrak A\)-Vektoren, die durch die \(\mathfrak D\)-Geraden auf dem Umweg über die Isomorphismen der \(\mathfrak B\)- mit den \(\mathfrak A\)-Vektoren definiert sind, eine Gruppe. Man kann also diese Automorphismengruppe zur Definition einer Vektormultiplikation neben der (additiven) Gruppe der Vektoren benutzen. Das durch die beiden Verknüpfungsgesetze der \(\mathfrak A\)-Vektoren definierte System erweist sich als ein einseitig distributives Zahlsystem \(\mathfrak Z\), und der Satz \(\varSigma _3\) ist gerade der Ausdruck des distributiven Gesetzes. Die \(\mathfrak D\)-Vektoren oder – wie sie jetzt genannt werden -\(\mathfrak D\)-Maßzahlen werden durch einen Isomorphismus zu der multiplikativen Gruppe des distibutiven Zahlensystems \(\mathfrak Z\) in Beziehung gesetzt. Nach Erweiterung des Gewebes zur affinen Ebene wird nunmehr die Maßzahlengleichheit definiert; sie ist transitiv, und jetzt läßt sich auch die Transitivität der Proportionalität beweisen. Das Zahlensystem der Streckenverhältnisse wird isomorph dem Zahlensystem \(\mathfrak Z\). Man kann das Zahlensystem \(\mathfrak Z\) zur analytischen Darstellung des 4-Gewebes benutzen, und umgekehrt läßt sich aus jedem distributiven Zahlensystem ein 4-Gewebe und eine affine Geometrie mit den genannten Axiomen herstellen. Die Gültigkeit des zweiten distributiven Gesetzes ist äquivalent mit einem neuen Schließungssatz:
\(\varSigma _4\): Sind \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) und \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) zwei Dreiecke aus \(\mathfrak A\)-, \(\mathfrak B\)-, \(\mathfrak C\)-Geraden, d. h. sind etwa \(P_1P_2\) und \(Q_1Q_2\) \(\mathfrak A\)-Geraden, \(P_2P_3\) und \(Q_2Q_3\) \(\mathfrak B\)-Geraden, \(P_3P_1\) und \(Q_3Q_1\) \(\mathfrak C\)-Geraden, und liegen die Ecken \(P_3Q_3\) auf der \(\mathfrak A\)-Geraden durch \(D\) und außerdem die Ecken \(P_2Q_2\) auf einer \(\mathfrak D\)-Geraden, so liegen auch \(P_1Q_1\) auf einer \(\mathfrak D\)-Geraden.
Nunmehr gilt der Satz von Desargues.
\(\varSigma\varDelta \): Ist \(P_1P_2\) parallel zu \(Q_1Q_2\), \(P_2P_3\) parallel zu \(Q_2Q_3\) und \(P_3P_1\) parallel zu \(Q_3Q_1\), und schneiden sich \(P_1Q_1\) und \(P_2Q_2\) in einem Punkt \(D\), so geht auch \(P_3Q_3\) durch \(D\).
Nimmt man jetzt zu \(\varSigma _4\) wieder \(\varSigma _3\) hinzu, so folgt aus der Gültigkeit der beiden distributiven Gesetze das kommutative Gesetz der Addition. Die Streckenverhältnisse bilden also einen Schiefkörper.
Im letzten Kapitel werden nunmehr die Ergebnisse der früheren zur Axiomatik der affinen Geometrie ausgebaut. Es gilt: Die Inzidenzaxiome I\(\alpha 1\) – I\(\alpha 5\) und \(\varSigma \Delta \) kennzeichnen die affine Geometrie, die aus einem Schiefkörper aufgebaut wird. Es wird in diesem Kapitel die Streckenrechnung auf Grund der affinen Axiome entwickelt, die Stellung des Desarguesschen Satzes zum Fundamentalsatz der affinen Geometrie und bei Einbettung in eine räumliche Geometrie zu den räumlichen Inzidenzaxiomen erörtert. Ferner werden die projektiven Axiome, der Desarguessche Satz in der projektiven Geometrie und der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie behandelt. Endlich wird der Pascalsche Satz eingeführt:
\(\varDelta \varPi \): Sind \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) drei Punkte einer Geraden und \(Q_1\), \(Q_2\), \(Q_3\) drei Punkte einer andern Geraden, und ist die Gerade \(Q_1P_2\) parallel zu \(Q_2P_3\) und \(P_1Q_2\) parallel zu \(P_2Q_3\), so ist auch \(P_1Q_1\) parallel zu \(P_3Q_3\).
Dieser Satz ergibt sich, wenn man im \(\mathfrak {ABD}\)-Gewebe \(\varSigma _2\) an Stelle von \(\varSigma _1\) setzt. Der Desarguessche Satz folgt daher aus dem Pascalschen, wie \(\varSigma _1\) aus \(\varSigma _2\) folgt. Der Beweis wird im Anschluß an Hessenberg (1905; F. d. M. 36, 583 (JFM 36.0583.*)-584) geführt. Der Pascalsche Satz macht aus dem Schiefkörper der Streckenverhältnisse einen Körper.
Spezielle Kenntnisse setzt das Buch nicht voraus, doch wird es trotz der klaren Darstellung von wesentlichem Wert hauptsächlich für solche Leser sein, die mit dem Gebiet schon vertraut sind.
Besprechungen: E. S. Allen; Bulletin A. M. S. 37 (1931), 798-802. T. G.; Nature, 128 (1931), 626. I. Johansson; Norsk Mat. Tidsskrift 12 (1930), 129-130. W. Lietzmann; Z. f. math. Unterricht 62 (1931), 224-225. H. Kneser; Göttingische gelehrte Anzeigen 144 (1932), 78-84. St. Lipka; Acta Szeged 5 (1932), 250. R. Robinson; Amer. Math. Monthly 39 (1932), 539-540; H. Vermeil; Jahresbericht D. M. V. 42 (1932), 52-54 kursiv.

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