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Sistemi di normali principali ad una varieta nel suo \(\varPi _3\). I, II. (Italian) JFM 56.0649.04

Die Verf. stellt sich die Aufgabe, das analytische Verfahren, nach dem G. Vitali (Geometria nello spazio hilbertiano (1929; F. d. M. 55); S. 254 und folgende) im \(\varPi _2\) einer \(V_n\) (Normalraum zu \(\sigma _1\) in \(\sigma _2\); \(\sigma _\nu \) bedeutet den \(\nu \)-oskulierenden Raum) ein Hauptsystem von Normalen konstruiert, auf den Fall des \(\varPi _3\) (normal zu \(\sigma _2\) in \(\sigma _3\)) auszudehnen.
In der ersten Note bildet die Verf. mit den Koeffizienten des Linienelements \(ds^2\) einen Tensor \(W_{r,s,p;h,k,q}\), der mit Eigenschaften ausgestattet ist, die denen des Tensors \(W_{r,s;p,q}\) analog sind, auf dem die Vitalische Untersuchung beruht; mit Hilfe von \(W_{r,s,p;h,k,q}\) und dem dazu “reziproken” Tensor \(W^{r,s,p;h,k,q}\) entwickelt sie ein Verfahren, zu jedem Tensor mit drei kovarianten (oder kontravarianten) Indices erster Klasse \(x_{r,s,p}\) (oder \(y^{r,s,p}\)) den “Pseudoreziproken” \(x^{r,s,p}\) (oder \(y_{r,s,p}\)) zu konstruieren; sie bezeichnet den Ausdruck \[ (x,y) = \sum _{r,s,p} x_{r,s,p}\,y^{r,s,p} \] als Alternante der beiden Tensoren \(x_{r,s,p}\) und \(y_{r,s,p}\).
In der zweiten Note definiert Verf. als Hauptsystem von Normalen in \( \varPi _3\) ein System von \(\nu \) Einheitsvektoren \[ \underset{i}{X}, \quad i=1,2,\dots,\nu \ \ (\nu = \text{ Dimension von } \varPi _3), \] von folgender Beschaffenheit: Versteht man unter \(\underset{i}{x}{}_{r,s,p}\) die skalaren Produkte der \(\underset{i}{X}\) mit den Vektoren \(f_{r,s,p}\), den Komponenten des “terzo ricciano” des variablen Punktes \(f\) von \(V_n\) (vgl. Vitali, l. c. S. 201), so soll gelten: \[ (\underset{i}{x}, \underset{j}{x}) =0\ \ \text{ für } i, j= 1, 2,\ldots,\nu \ \text{ und } i\ne j; \] sie zeigt ferner, daß in dem zu einem allgemeinen Punkt der \(V_n\) gehörenden \(\varPi _3\) mindestens ein Hauptsystem von Normalen existiert.

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