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Le système orthogonal de M. Rademacher. (French) JFM 56.0950.06
Das Rademachersche Orthogonalsystem ist in \(\langle0,1\rangle\) durch \[ \varphi_n(x)=\operatorname{sign\,}(\sin2^n\pi x)\qquad(n\geqq0) \] definiert. Es ist normiert, aber nicht vollständig. Es wird zunächst von den Verf. zu einem vollständigen Orthogonalsystem \(\{\psi_k(x)\}\) erweitert, und zwar durch lineare Kombination der Haarschen Orthogonalfunktionen (1923; F. d. M. 49, 706 (JFM 49.0706.*)-707).
\(f\) soil in \(\langle0,1\rangle\) zur Lebesgueschen Klasse \(L\) gehören. Es wird “zum Felde der \(\varphi\) gehörig” genannt, wenn seine zu den \(\psi_k\not\equiv\varphi_n\) gehörigen Fourierkonstanten (im System der \(\psi\) verschwinden. Unter wesentlicher Anwendung eines Äquivalenzsatzes von Banach (vgl. F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 941-942) werden u. a. die folgenden (teilweise auf anderem Wege bekannten) Sätze hergeleitet:
1. Damit die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n\varphi_n(x)\) überall in \(\langle0,1\rangle\) konvergiert, ist notwendig und hinreichend die Konvergenz von \(\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|\).
2. Es sei \(c_n\to 0\) und \(\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|\) divergent. In jedem Teilintervall von \(\langle0,1\rangle\) gibt es Mengen von der Mächtigkeit des Kontinuums, wo die Teilsummen von \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n\varphi_n(x)\) vorgegebene konstante obere und untere Häufungsgrenzen haben.
3. Die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n\varphi_n(x)\) ist fast überall konvergent oder divergent, je nachdem \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2\) konvergiert oder divergiert.
4. Gehört \(f\) zu \(L^p\) \((p > 1)\), und sind die \(c_n\) die Fourierkoeffizienten von \(f\) im Rademacherschen Systeme, so gilt \[ \sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2\leqq\frac{3p-2}{2p-2} \bigg[\int\limits_0^1|f(x)|^p\,dx\bigg]^{\frac2p}. \]
5. Für die Fourierkoeffizienten einer “zum Felde der \(\varphi\)” gehörigen Funktion ist \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2\) konvergent (vgl. 3.).
6. Wenn \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2\), konvergiert, gibt es eine stetige Funktion \(f\), deren Rademachersche Konstanten die \(c_n\) sind.
Wenn nur \(c_n\to0\) gilt, so gibt es jedenfalls eine solche integrierbare Funktion.
7. Ist \(f\) meßbar, beschränkt und “zum Felde der \(\varphi\)” gehörig, so ist die (im System der \(\psi\)) zugehörige \(\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|\) konvergent (vgl. 1.).

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