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Topologische Grundlagen der allgemeinen Eigenwerttheorie. (German) JFM 56.1133.04
Verf. stellt hier den Grundgedanken einer allgemeinen Eigenwerttheorie dar in Analogie zu der bekannten Definition der Eigenwerte einer quadratischen Form durch eine Maximum-Minimum-Eigenschaft (vgl. Courant-Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, 1. Aufl. (1924; F. d. M. 50, 335 (JFM 50.0335.*)-337), Kap. I, § 4). \(f\) sei eine samt ihren partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetige Funktion, die auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit \(R\) definiert ist. Ist nun \((M)\) eine “abgeschlossene topologische Klasse” von Mengen auf \(R\) (d. h. ein System von abgeschlossenen Teilmengen, das gegen Übergang zur Grenzmenge und gegen stetige Deformation invariant ist), so wird das minimum maximorum \(\lambda _{(M)}\) von \(f\) in \((M)\) in einer Menge \(M_0\) wirklich angenommen, und nach einem von Verf. und Schnirelmann (C. R. 188 (1929), 295-297; JFM 55.0315.*-316) schon früher angewendeten Prinzip enthält der Schnitt von \(M_0\) mit \(f=\lambda _{(M)}\) wenigstens einen singulären Punkt von \(f\) (wo \(df = 0\) für jede Richtung in \(R\)). Verf. benutzt hier als \((M)\) insbesondere die Klassen \((M_i)\) der abgeschlossenen Mengen mindestens \(i\)-ter Kategorie in \(R\). (Für Definition und Eigenschaften der Kategorie, die hier auch abgeleitet werden, vgl. das folgende Referat.) Für die zugehörigen minima maximorum \(\lambda _i\) von \(f\) gilt der folgende Hauptsatz: Ist \(\lambda _i= \lambda _{i+p}\), so enthält die Hyperfläche \(f=\lambda _i\) eine Menge mindestens \((p + 1)\)-ter Kategorie von singulären Punkten von \(f\).

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References:
[1] Z. B. in ”Methoden der mathematischen Physik”. · Zbl 0073.03601
[2] Unter einem singulären Punkt einer FunktionF auf einer Mannigfaltigkeit verstehen wir einen Punkt, in dem ihr Gradient relativ zur Mannigfaltigkeit verschwindet, d. h. wenn für eine kleine Verschiebung des Punktes in der MannigfaltigkeitdF=0 ist. Singuläre Werte nennen wir die Werte vonF in den singulären Punkten.
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