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On the absolute convergence of Dirichlet series. (English) JFM 57.0266.05
Es werden die von Bohr und Toeplitz (1913; F. d. M. 44; 306, 405) gewonnenen Resultate über die absolute Konvergenz von Dirichletschen Reihen in folgender interessanter Weise ergänzt und verallgemeinert: Es sei \(\sigma_{\alpha}\) die absolute, \(\sigma_u\) die gleichmäßige Konvergenzabszisse der Dirichletschen Reihe \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill \sum \frac{a_n}{n^s}. \hfill } \] Bohr hat bewiesen, daß \(\sigma_{\alpha} \leqq \sigma_u + \dfrac{1}{2}\) ist; Toeplitz hat gezeigt, daß jedenfalls zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine Reihe (1) existiert, für die \(\sigma_{\alpha} > \sigma_u + \dfrac{1}{4} - \varepsilon\), wobei die Koeffizienten überdies der besonderen Bedingung genügen, daß \(a_n = 0\), falls \(n\) mehr als zwei (gleiche oder verschiedene) Primfaktoren enthält.
Die Verf. beweisen nun, daß der Fall \(\sigma_{\alpha} = \sigma_u + \dfrac{1}{2}\) tatsächlich eintreten kann, womit die von Bohr und Toeplitz offen gelassene Frage erledigt ist. Für die absolute Konvergenzabszisse \(\sigma^{*}_{\alpha}\) der Dirichletschen Reihe \(\sum \dfrac{b_n}{n^s}\), die aus (1) entsteht, wenn man \(b_n = a_n\), falls \(n\) nicht mehr als \(m\) Primfaktoren enthält, und sonst \(b_n = 0\) setzt, zeigen die Verf., daß \(\sigma^{*}_{\alpha} \leqq \sigma_u + \dfrac{m-1}{2m}\) ist. Auch hier kann der Fall \(\sigma^{*}_{\alpha} = \sigma_u + \dfrac{m-1}{2m}\) eintreten, wie durch ein Beispiel gezeigt wird.
Bei den Beweisen finden die von Bohr und Toeplitz geschaffenen Methoden Anwendung; ein wichtiges Hilfsmittel ist die in § 1 - § 3 angestellte Untersuchung über \(m\)-lineare Formen, wobei die Littlewoodschen Theoreme über die Beschränktheit von bilinearen Formen (1930; JFM 56.0335.*-336) wie folgt verallgemeinert werden:
(I) Wenn eine \(m\)-lineare Form \[ \sum\limits_{i_1 \cdots i_m =1}^{\infty} a_{i_1 \cdots i_m} x^{(1)}_{i_1} \, x^{(2)}_{i_2} \cdots x^{(m)}_{i_m} \] im Gebiete \(|x^{(\nu)}_n|<1\) beschränkt ist, d. h. wenn die Abschnitte \[ \sum\limits_{i_1 =1}^{N_1} \sum\limits_{i_2 =1}^{N_2} \ldots \sum\limits_{i_m =1}^{N_m} a_{i_1 i_2 \cdots i_m} x^{(1)}_{i_1} \, x^{(2)}_{i_2} \ldots x^{(m)}_{i_m} \] für \(|x^{(\nu)}_n|<1\) absolut genommen kleiner als ein gewisses \(H\) sind, so sind \[ S = \left[ \sum\limits_{i_1 \cdots i_m =1}^{\infty} \left| a_{i_1 \cdots i_m} \right|^{\varrho} \right]^ \frac{1}{\varrho} \] und \(T^{(1)}, \, T^{(2)}, \ldots, T^{(m)}\) – es ist \[ \varrho = \frac{2m}{m+1}, \, T^{(\nu)}=\sum\limits_{i_{\nu}=1}^{\infty} T^{(\nu)}_{i_{\nu}} \quad \text{und} \quad T^{(\nu)}_{i_{\nu}}= \left[ \sum |a_{i_1 \cdots i_m}|^2 \right]^{\frac{1}{2}}, \] wo die Indices \(i_1, \, i_2, \ldots, i_{\nu -1}, \, i_{\nu +1}, \ldots, i_m\) von \(1\) bis \(\infty\) zu summieren sind – kleiner als \(AH\), wo \(A\) eine nur von \(m\) abhängige Konstante ist.
(II) Sind \(t^{(\nu)}_{i_{\nu}}\) und \(s_{i_1 \cdots i_m}\) derart vorgelegt, daß \[ \lim\limits_{i_{\nu} \to \infty} t^{(\nu)}_{i_{\nu}} = \lim\limits_{i_1 \cdots i_m \to \infty} s_{i_1 \cdots i_m} = \infty, \] so gibt es beschränkte Formen, für die \(\sum t^{(\nu)}_{i_{\nu}} T^{(\nu)}_{i_{\nu}}\) und \[ \sum s_{i_1} \ldots s_{i_m} |a_{i_1} \ldots a_{i_m}|^{\frac{2m}{m+1}} \] divergieren.
In einem Schlußparagraphen werden die von Bohr (1918; F. d. M. 46, 490 (JFM 46.0490.*)) untersuchten speziellen Typen von allgemeinen Dirichletschen Reihen \(\sum a_n e^{-\lambda_n s}\) betrachtet.

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