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The theory of spherical and ellipsoidal harmonics. (English) JFM 57.0405.06

XII + 500 p. with fig. Cambridge, University Press (1931).
Das vorliegende Werk soll etwa dieselbe Aufgabe erfüllen, natürlich von einem moderneren Standpunkte aus, wie das berühmte “Handbuch der Kugelfunctionen” von E. Heine (2. Aufl. 1878, 1881; F. d. M. 10, 332 (JFM 10.0332.*)-333; 13, 391-392); es beschäftigt sich also mit der Untersuchung von Lösungen der Laplaceschen Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial^2V}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2V}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2V}{\partial z^2}=0,\tag{1} \] die speziellen Randwertaufgaben angepaßt sind; die Potentialtheorie, d. h. die allgemeine Theorie der Potentialfunktionen oder der Existenzsätze, bildet nicht den Gegenstand des Buches.
Das Kap. I ist einleitender Natur; es handelt von der Transformation der Gleichung (1) in beliebige krummflächige, aber rechtwinklige Koordinaten.
In Kap. II wird die Lösung von (1) in Polarkoordinaten untersucht. Die transformierte Gleichung (1) führt unter einer besonderen Annahme und bei Änderung der Bezeichnungen auf die Differentialgleichung \[ \dfrac{d}{d\mu}\biggl\{(1-u^2)\dfrac{du}{d\mu}\biggr\}+ \biggl\{n(n+1)-\dfrac{m^2}{1-\mu^2}\biggr\}u=0,\tag{2} \] die nun zunächst in dem durch \(m = 0\) gekennzeichneten Sonderfall der Legendreschen Differentialgleichung \[ \dfrac{d}{d\mu}\biggl \{(1-u^2)\dfrac{du}{d\mu}\biggr\}+n(n+1)u=0\tag{3} \] näher betrachtet wird. Für positives ganzes \(n\) erhält man als zwei linear unabhängige Lösungen von (3) die \(n\)-te Legendresche Funktion erster Art \(P_n (\mu)\) (das Legendresche Polynom \(n\)-ten Grades) und zweiter Art \(Q_n(\mu)\), deren Eigenschaften ausführlich hergeleitet werden.
In Kap. III kehrt Verf. zur Gleichung (2) mit \(m \neq 0\) zurück, indem er besonders den Fall positiver ganzer \(m, n\) mit \(m \leqq n\) ins Auge faßt. Er gelangt so zu den assoziierten Legendreschen Funktionen erster und zweiter Art: \(P_n^m(\mu), Q_n^m (\mu)\). Für alle komplexen \(\mu\) mit Ausnahme der reellen Zahlen aus \((- 1, +1)\) gilt \[ P_n^m(\mu)=(\mu^2-1)^{\tfrac{m}{2}}\dfrac{d^mP_n(\mu)}{d\mu^m}; \tag{4} \] für die reellen \(\mu\) aus \(\langle- 1, + 1\rangle \) gilt \[ P_n^m(\mu)=(-1)^m(1-\mu^2)^{\tfrac{m}{2}}\dfrac{d^mP_n(\mu)}{d\mu^m}.\tag{5} \] Entsprechende Formehl gelten für die Funktionen zweiter Art. Die Betrachtung wird dann auf die Fälle \(m > n\) und \(m =\) negative ganze Zahl ausgedehnt. Für physikalische Anwendungen wichtig sind die Funktionen \[ \begin{matrix} \cos\\ \sin \end{matrix} m\varphi P_n^m(\mu), \quad \begin{matrix} \cos\\ \sin \end{matrix} m\varphi Q_n^m(\mu),\tag{6} \] die “tesseral” bzw. “sectorial surface harmonics” erster und zweiter Art, je nachdem \(m \neq n\) oder \(m = n\) ist.
In Kap. IV wendet sich Verf. der “spherical harmonic” oder ausführlicher: “solid spherical harmonic” zu, indem er darunter, wie in der englischen Literatur seit Lord Kelvin üblich, eine in \(x, y, z\) homogene Funktion versteht, die Lösung von (1) ist. Ist der Homogenitätsgrad gleich \(n\), so heißt diese Funktion \(V_n (x, y, z)\) vom Grade \(n\). Werden statt der rechtwinkligen Koordinaten \(x, y, z\) Polarkoordinaten \(r, \vartheta, \varphi\) eingeführt, so wird \[ V_n(x, y, z)=r^nf_n(\vartheta, \varphi); \tag{7} \] die Funktion \(f_n(\vartheta,\varphi)\) ist eine “spherical surface harmonic” des Grades \(n\). In Kap. IV beschränkt Verf. sich auf positives ganzzahliges \(n\). Es werden die “ordinary spherical harmonics” aufgesucht; das sind spherical harmonics, die Polynome \(n\)-ten Grades in \(x, y, z\) sind; es gibt beim Grade \(n\) genau \(n + 1\) derartige Funktionen, die linear unabhängig sind. Es wird dann die Theorie der allgemeinen “spherical harmonic” bei ganzem \(n\) entwickelt. Dabei wird auf die Ergebnisse der vorhergehenden Kapitel zurückgegriffen; es zeigt sich nämlich, daß man Lösungen von (1) in der Form \[ r^n\begin{matrix} \cos\\ \sin \end{matrix} m\varphi \, u_n^m(\mu), \quad r^{-n-1}\begin{matrix} \cos\\ \sin \end{matrix} m\varphi\, u_n^m(\mu)\tag{8} \] mit \[ x = r (1 - \mu^2)^{\frac12} \cos \varphi, \quad y = r (1 - \mu^2)^{\frac12} \sin \varphi, \quad z = r\mu \] erhält, wobei \(m\) und \(n\) positive ganze Zahlen sind, \(\mu\) das Intervall \(\langle- 1, + 1\rangle \) durchläuft und \(u^m_n(\mu)\) eine assoziierte Legendresche Funktion ist. Die Funktionen (8) sind als Lösungen von (1) brauchbar, wenn es sich um Randwertprobleme handelt, bei denen der Rand aus einer Kugel oder aus zwei konzentrischen Kugeln besteht.
Für allgemeinere Randwertprobleme der Gleichung (1) muß man Funktionen (6) bzw. (8) heranziehen, bei denen man die speziellen Annahmen über \(m, n\) und \(\mu\) fallen läßt. Verf. gelangt so (Kap. V) zu den “spherical harmonics of general type”, deren Behandlung die Definition und Untersuchung der Funktionen \(P_n^m(\mu)\) und \(Q_n^m(\mu)\) für beliebige \(m, n, \mu\) erfordert. Diese Behandlung führt Verf. hier in Anlehnung an eine eigene Arbeit (1896; F. d. M. 27, 366 (JFM 27.0366.*)) durch; die Funktionen \(P_n^m(\mu), Q_n^m(\mu)\) erscheinen dabei im wesentlichen als hypergeometrische Funktionen. In den folgenden Kapiteln (VI-IX) wird das Studium der Funktionen \(P_n^m(\mu), Q_n^m(\mu)\) und der analogen Verallgemeinerungen der Legendreschen Funktionen \(P_n(\mu), Q_n(\mu)\) nach verschiedenen Richtungen hin fortgesetzt.
Nunmehr lassen sich Randwertprobleme der Gleichung (1) für allgemeinere Berandungen unter einem einheitlichen Gesichtspunkt angreifen. Das geschieht in Kap. X für Gebiete, die das Innere oder Äußere spezieller Rotationsflächen sind.
Im letzten Kapitel (XI) des Buches wendet sich Verf. dem Randwertproblem der Gleichung (1) für das Innere eines Ellipsoids zu. Verf. schließt sich hier an die von Lamé gegebene Behandlung dieses Problems an, und zwar in der Darstellung, die man Heine (Handbuch der Kugelfunctionen; Bd. I, S. 350-381; II, S. 164-173) verdankt.
Inhaltsverzeichnis: I. The transformation of Laplace’s equation. II. The solution of Laplace’s equation in polar coordinates. III. The Legendre’s associated functions. IV. Spherical harmonics. V. Spherical harmonics of general type. VI. Approximate values of the generalized Legendre’s functions. VII. Representation of functions by series. VIII. The addition theorems for general Legendre’s functions. IX. The zeros of Legendre’s functions and associated functions. X. Harmonics for spaces bounded by surfaces of revolution. XI. Ellipsoidal harmonics. – List of authors quoted. General index. (IV 6 B, 9, 13.)
Besprechungen: Philos. Magazine (7) 14 (1932), 331. P.Franklin; Bulletin A. M. S. 38 (1932), 479. W. N. B.; Math. Gazette 16 (1932), 214-215. L. Bieberbach; Jahresbericht D. M. V. 41 (1932), 54-55 kursiv. v. d. P.; Physica 12 (1932), 218-220. O. Szász; Zentralblatt 4 (1932), 210.