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Allgemeine lineare Differenzengleichungen mit asymptotisch konstanten Koeffizienten. (German) JFM 57.0534.06
Es handelt sich um Gleichungen der Form \[ \sum_{\varrho=0}^r c_{\varrho}(x)u(x+\delta_\varrho)=\varphi(x), \tag{1} \] wobei \(0\leqq \delta_0<\delta_1<\cdots<\delta_r\) und \[ \lim_{x\to\infty}c_\varrho(x)=c_\varrho \] ist; und zwar wird das infinitare Verhalten einer Lösung \(u(x)\) für \(x\to\infty\) untersucht. Die im Fall \(\delta_\varrho=\varrho\) üblichen, mit den Wurzeln der charakteristischen Gleichung \[ \sum_{\varrho=0}^r c_\varrho x^\varrho=0 \] operierenden Methoden versagen hier; doch spielt die Funktion \[ E(\tau)=\sum_{\varrho=0}^r c_\varrho e^{\delta_\varrho\tau} \] immerhin eine analoge Rolle. Die Hauptresultate, die zunächst im Fall \(c_\varrho (x) = c_\varrho\) und dann durch Behandlung der Gleichung \[ \sum_{\varrho=0}^r c_\varrho u(x+\delta_\varrho)=\varphi(x)+ \sum_{\varrho=0}^r[c_\varrho-c_\varrho(x)]u(x+\delta_\varrho) \] mittels sukzessiver Approximationen auch allgemein gewonnen werden, sind die folgenden, wobei \(\mathfrak M\) die durch ihre Häufungspunkte abgeschlossene Menge der reellen Teile aller Nullstellen von \(E(\tau)\) bezeichnet, und wobei die Abkürzung \[ \limsup_{x\to\infty}\frac{\log|f(x)|}{x}=\mathfrak R(f) \] gebraucht wird:
I. Für jede Lösung \(u(x)\) der homogenen Gleichung (1) (d. h. bei der \(\varphi(x)=0\) ist), die nicht für alle hinreichend großen \(x\) verschwindet, ist \(\mathfrak R(u)\) eine Zahl aus \(\mathfrak M\) oder gleich \(\infty\).
II. Für jede Lösung \(u(x)\) von (1) ist \(\mathfrak R(u)\) entweder gleich \(\mathfrak R(\varphi)\) oder gleich einer Zahl aus \(\mathfrak M\), die größer als \(\mathfrak R(\varphi)\) ist, oder gleich \(\infty\).
III. (a) Ist \(\mathfrak R(\varphi)\) kleiner als alle Zahlen aus \(\mathfrak M\), so gibt es genau eine Lösung der inhomogenen Gleichung, für welche \(\mathfrak R(u) = \mathfrak R(\varphi)\) ist. (b) Ist \(\mathfrak R(\varphi)\) größer als alle Zahlen aus \(\mathfrak M\), so ist für jede Lösung \(\mathfrak R(u)=\mathfrak R(\varphi)\). (c) Ist \(\mathfrak R(\varphi)\) eine sonstige nicht zu \(\mathfrak M\) gehörige Zahl, so gibt es mindestens eine Lösung, für welche \(\mathfrak R(u)=\mathfrak R(\varphi)\), und eventuell auch Lösungen, für welche \(\mathfrak R(u)>\mathfrak R(\varphi)\). (d) Ist \(\mathfrak R(\varphi)\) eine Zahl aus \(\mathfrak M\), so gibt es mindestens eine Lösung mit endlichem \(\mathfrak R(u)\).

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