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Sur la théorie des systèmes en involution et ses applications à la relativité. (French) JFM 57.0551.02
Verf. betrachtet vorerst ein System von \(r\) partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung in \(n\) unbekannten Funktionen \(u_1, u_2,\ldots, u_n\) und zwei unabhängigen Veränderlichen \(x\), \(y\) mit Koeffizienten \(a_{11},\ldots, a_{rn}\), \(b_{11},\ldots, b_{rn}\), \(c_1,\ldots, c_r\), die analytisch von \(x\), \(y\), \(u_1, u_2,\ldots, u_n\) abhängen. Besteht Auflösbarkeit nach \(r\) partiellen Ableitungen, also etwa nach \(\dfrac{\partial u_1}{\partial y},\ldots\), \(\dfrac{\partial u_r}{\partial y}\) (\(n\geqq r\)), so hegen die bekannten Voraussetzungen und Folgerungen des Cauchy-Kovalevskyschen Existenztheorems vor. Aber bei vielen und wichtigen Gelegenheiten (Differentialgleichungen der Einbettungsbedingungen quadratischer Differentialformen, Feldgleichungen der einheitlichen Relativitätstheorie von Gravitation und Elektrizität usw.) bestehen diese Voraussetzungen nicht. Vielmehr wird man in einem solchen Falle, z. B. durch Elimination der \(\dfrac{\partial u_1}{\partial y},\ldots,\dfrac{\partial u_r}{\partial y}\), auf mindestens \(r_1> 0\) Gleichungen geführt, in welchen nur noch die Ableitungen \(\dfrac{\partial u_k}{\partial x}\) auftreten. Sodann nennt Verf. die unabhängigen Veränderlichen, für welche die Mindestzahl \(r_1\) solcher Relationen erreicht wird, nicht singuläre Veränderliche und betrachtet das Resultat einer solchen Elimination in der Gestalt: \[ \begin{aligned} X_i &\equiv\sum_{k=1}^n a_{ik}\frac{\partial u_k}{\partial x}-c_i=0\qquad (i=1,2,\ldots,r_1),\\ Y_j &\equiv\sum_{k=1}^n\left( a_{r_1+j,k}\frac{\partial u_k}{\partial x}+ b_{r_1+j,k}\frac{\partial u_k}{\partial y}\right) +c_{r_1+j}=0\qquad (j=1,2,\ldots,r-r_1). \end{aligned} \] Dann genügen die Koeffizienten \(a_{ik}\) und \(b_{r_1+j,k}\) den Relationen \[ a_{ik}=\lambda_{i1}b_{r_1+1,k}+\lambda_{i2}b_{r_1+2,k}+\cdots+ \lambda_{i,r-r_1}b_{rk} \quad (i=1,2,\ldots,r_1; k=1,2,\ldots,n) \] derart, daß sich aus der Auflösbarkeit der Gleichungen \(Y_j=0\) nach \(\dfrac{\partial u_1}{\partial y}, \dfrac{\partial u_2}{\partial y}, \ldots, \dfrac{\partial u_{r-r_1}}{\partial y}\) diejenige der Gleichungen \(X_i=0\) nach \(\dfrac{\partial u_1}{\partial x}, \dfrac{\partial u_2}{\partial x}, \ldots, \dfrac{\partial u_{r-r_1}}{\partial x}\) ergibt \((r -r_1\geqq r_1).\) Sodann benutzt Verf. die Ausdrücke \[ \varTheta_i\equiv\frac{\partial x_i}{\partial y}\lambda_{i1}\frac{\partial Y_1}{\partial x}\lambda_{i2}\frac{\partial Y_2}{\partial x}-\cdots\lambda_{i,r-r_1}\frac{\partial Y_{r-r_1}}{\partial x}, \] deren Argumente unter Berücksichtigung von \(\dfrac{\partial X_i}{\partial x}=0\) und der Gleichungen des gegebenen Systems gemäß den Identitäten \[ \varTheta_i\equiv\varTheta_i\left(x,y,u_k, \frac{\partial u_{r_1+1}}{\partial x},\ldots, \frac{\partial u_n}{\partial x}, \frac{\partial u_{r-r_1+1}}{\partial y},\ldots, \frac{\partial u_n}{\partial y}, \frac{\partial^2 u_{r_1+1}}{\partial x^2},\ldots, \frac{\partial^2 u_n}{\partial x^2}\right) \] reduziert werden können, und beweist das Existenztheorem (mit entsprechender Umkehrung): Wenn die \(r_1\) Ausdrücke \(\varTheta_i\), reduziert unter Berücksichtigung der Gleichungen des Systems und der Gleichungen \(\dfrac{\partial X_i}{\partial x}=0\), identisch verschwinden, sobald ihre Argumente als unabhängige Variableu betrachtet werden, so gestattet das vorgelegte System mindestens eine analytische Lösung von der Beschaffenheit, daß sich die Funktionen \(u_k\) und ihre partiellen Ableitungen \(\dfrac{\partial u_k}{\partial y}\) für \(y = y_0\) auf willkürlich vorgegebene Funktionen \(\varphi_k(x)\), \(\psi_k(x)\) reduzieren, wenn nur diese Funktionen den gegebenen Gleichungen genügen, sobald in deren Koeffizienten \(y=y_0\) gesetzt wird. Mit dem identischen Verschwinden der Ausdrücke \(\varTheta_i\) im Sinne dieses Existenztheorems ist eine für die weitere Theorie wichtige numerische Invariante verknüpft, die Anzahl \(r_1\), der unabhängigen Ausdrücke \(\varTheta_i\). Sie ist invariant gegenüber jeder Wahl neuer nicht singulärer Veränderlichen. Dann lautet die Definition eines Involutionssystems \((S)\) in \(n\) unbekannten Funktionen und zwei unabhängigen Variablen: Ein System \((\)S) ist ein Involutionssystem, sobald zwischen den Ableitungen seiner “linken” Seiten \(r_1\) linear unabhängige Identitäten bestehen. Für \(n=r-r_1\) bestimmt das Involutionssystem die unbekannten Funktionen, und es gilt der Satz: Damit ein System in Involution Hegt und die unbekannten Funktionen bestimmt, ist notwendig:
(1) Daß die Gleichungen des Systems bezüglich \(n\) Ableitungen \(\dfrac{\partial u_k}{\partial y}\) auflösbar sind; (2) daß zwischen den Ableitungen der “linken” Seiten \(r_1 = n - r\) unabhängige lineare Identitäten bestehen (charakteristische Bedingung).
Unter den auf einer Integralfläche im \((n+2)\)-dimensionalen Raum verlaufenden Kurven sind die “charakteristischen” von besonderer Bedeutung. Eine Kurve, definiert durch die Differentialgleichung \[ \alpha dx + \beta dy = 0, \] wird charakteristisch genannt, wenn unter den \(r\) in \(\xi_1\), \(\xi_2,\ldots\), \(\xi_n\) linearen Formen \[ \sum_{k=1}^n (\alpha a_{ik}+\beta b_{ik})\xi_k\qquad (i=1,2,\ldots,r) \] höchstens \(r-r_1-1\) unabhängige vorkommen.
Nach den eben erwähnten Ergebnissen behandelt Verf. noch ausführlich den Fall von Systemen in drei unabhängigen Veränderlichen, schließlich zusammenfassend den allgemeinen Fall, vertreten durch Systeme in vier unabhängigen Veränderlichen \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) (im Hinblick auf die geplanten Anwendungen auf relativistische Feldgleichungen). Ist \(r\) die Zahl der Systemgleichungen, \(n\) die der unbekannten Funktionen, \(r_3\) die der linear unabhängigen Kombinationen der “linken” Seiten, die nur Ableitungen nach \(x\), \(y\), \(z\), \(r_2\) diejenige derer, die nur Ableitungen nach \(x\), \(y\), schließlich \(r_1\) diejenige derer, die nur Ableitungen nach \(x\) enthalten, so behalten wiederum die ganzen Zahlen \(r_3\), \(r_2\), \(r_1\) ihre Werte gegenüber jeder Wahl nicht singulärer Variablen. Die Bedingung für Involutionssysteme besteht analog wiederum in der Existenz von \(r_1+r_2+r_3\) Identitäten zwischen den partiellen Ableitungen der “linken” Seiten des Systems. Für \(n=r-r_3\) bestimmt das System die unbekannten Funktionen; seine allgemeine Lösung hängt dann von \(n-r_3 + r_2 = 2n- r + r_2\) willkürlichen Funktionen dreier Variablen ab. Man hat dreierlei charakteristische Mannigfaltigkeiten (von drei bzw. zwei bzw. einer Dimension) zu unterscheiden.
Sind dann \(h_{s\alpha}\) die sechzehn Feldkomponenten im Riemannschen raumzeitlichen Kontinuum mit Fernparallelismus, \(\varLambda^s_{\alpha\beta}\) die Torsionskomponenten in diesem Kontinuum, und bedeuten Kommata bzw. Semikola gewöhnliche bzw. kovariante Differentiationen, so bestehen zunächst die Systeme \[ \begin{aligned} H_{s\alpha\beta}&\equiv h_{s\alpha,\beta}h_{s\beta,\alpha}-\varLambda^s_{\alpha\beta}=0 \tag{I} \\ L^s_{\alpha\beta\gamma}&\equiv\varLambda^s_{\alpha\beta,\gamma}+ \varLambda^s_{\beta\gamma,\alpha}+\varLambda^s_{\gamma\alpha,\beta}=0 \tag{II} \end{aligned} \] als lineare partielle Systeme erster Ordnung für \(16 + 24 = 40\) unbekannte Funktionen \(h_{s\alpha}\) und \(\varLambda^s_{\alpha\beta}\). Zwischen den Ableitungen ihrer “linken” Seiten bestehen die zwanzig Identitäten: \[ \left\{ \begin{matrix}\l\\ H_{s\alpha\beta,\gamma}+H_{s\beta\gamma,\alpha}+H_{s\gamma\alpha,\beta} +L^s_{\alpha\beta\gamma}\equiv0,\\ L^s_{\alpha\beta\gamma,\delta}-L^s_{\alpha\beta\delta,\gamma}+ L^s_{\alpha\gamma\delta,\beta}-L^s_{\beta\gamma\delta,\alpha}\equiv0. \end{matrix}\right. \tag{III} \] Dazu kommt nun das System der zweiundzwanzig Einsteinschen einheitlichen Feldgleichungen: \[ \begin{matrix}\l\\ F_{\alpha\beta}\equiv\varLambda^\varrho_{\alpha\beta;\varrho}=0,\\ G^\beta_\alpha\equiv\varLambda^\beta_{\alpha\varrho;\varrho}+ \varLambda^\sigma_{\alpha\varrho}\varLambda^\beta_{\varrho\sigma}=0 \qquad(\varLambda^\beta_{\alpha\varrho}=g^{\varrho\sigma} \varLambda^\beta_{\alpha\sigma}). \end{matrix} \tag{IV} \] Die Anwendung der Involutionstheorie ergibt: \[ r_1=0, r_2=2, r_3=10; r_1+r_2+r_3=12. \] Tatsächlich existieren zwölf Differentialidentitäten: \[ \left\{ \begin{matrix}\l\\ F_{\alpha\beta;\gamma}+F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}L^\varrho_{\alpha\beta\gamma;\varrho}+ \varLambda^\varrho_{\alpha\beta}F_{\gamma\varrho}+ \varLambda^\varrho_{\beta\gamma}F_{\alpha\varrho}+ \varLambda^\varrho_{\gamma\alpha}F_{\beta\varrho}\equiv 0,\\ \quad G^\varrho_{\alpha;\varrho}-F_{\alpha\varrho;\varrho}\varLambda^\sigma_{\alpha\underline{\varrho}}F_{\varrho\sigma}\equiv 0,\\ G^\alpha_{\underline{\varrho};\varrho}+ \varLambda^\alpha_{\underline{\varrho}\sigma}G^\sigma_\varrho+ \tfrac12\varLambda^\tau_{\underline{\varrho}\underline{\sigma}} L^\alpha_{\varrho\sigma}\equiv 0, \end{matrix}\right. \tag{V} \] wie zu erwarten ist. Verf. erwähnt noch die Existenz eines ändern Systems von zweiundzwanzig Differentialbedingungen von gleichem Grad von Willkür wie (IV). Daneben existiert noch ein einziges Differentialsystem (indessen nur noch aus fünfzehn Bedingungen bestehend), das wiederum Involutionscharakter besitzt, wie (IV) und das eben erwähnte, gleich diesem bezüglich der kovarianten Ableitungen von \(\varLambda^\gamma_{\alpha\beta}\) linear und bezüglich der \(\varLambda^\gamma_{\alpha\beta}\) selbst quadratisch ist und die unbekannten Funktionen bestimmt. (VII 2.)

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Full Text: DOI Numdam EuDML