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Über nichteuklidische Schraubungen. (German) JFM 57.0707.03
Eine nichteuklidische Schraubung ist eine eingliedrige kontinuierliche Kollineationsgruppe, welche alle Flächen zweiten Grades durch ein windschiefes Erzeugendenvierseit einzeln invariant läßt, wobei eine dieser invarianten Flächen als Maßfläche einer Klein-Cayleyschen Maßbestimmung gewählt wird. Wählt man bei aus niederimaginären bzw. aus hochimaginären Geraden bestehendem Erzeugendenvierseit eine einteilig-ovale bzw. nullteilige Maßfläche, so erhält man die Schraubungen des hyperbolischen bzw. elliptischen Raumes (vgl. die Abhandlung des Verf. “Über die Schraubungen des elliptischen Raumes”, Sitzungsberichte Wien 139 (1930), 421-450; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 490). Verf. spricht aber auch dann noch von einer nichteuklidischen Schraubung, wenn das den invarianten Flächen gemeinsame Erzeugendenvierseit aus reellen Geraden besteht und die Maßfläche eine einteilig ringartige Fläche ist. Die Bahnkurven der Schraubung werden mit den Gewindekurven auf nicht singulären Flächen zweiten Grades identifiziert, und es wird bewiesen, daß die Bahnnormalen der nichteuklidischen Schraubung ein Strahlgewinde bilden. Die einfachsten algebraischen Bahnkurven werden angegeben. Es werden ferner transzendente und algebraische nichteuklidische Regelschraubflächen allgemein untersucht und endlich Regelflächen mit speziellen algebraischen Bahnkurven behandelt; hierbei finden sich eine Reihe der bekanntesten Regelflächen als Spezialfälle neuer allgemeiner Typen.

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References:
[1] Sie sind schon bei Plücker als Beispiel einer Gewindekurve angegeben: Neue Geometrie des Raumes, Leipzig 1868, S. 61, Fußnote.
[2] Der Speziallfall, daß die Achse des Paraboloides und des Gewindes identisch sind, findet sich bei K. Zindler, Liniengeometrie II, S. 233, 245, Aufg. 46.
[3] Ohne Beweis bei Klein und Lie, C. R. 1870, t. 701, S. 1222, 1275.
[4] Halphen: Sur les equations différentielles linéaires du quatrième ordre. Acta math. 3 (1883/84), S. 351.
[5] Wegen des ersten Teiles des Satzes vgl. Zeuthen, Sur les surfaces du seconde ordre II. Math. Ann. 26 (1886), S. 258 ff. · JFM 17.0649.01
[6] Einen analytischen Beweis dieses dem Chaslesschen Satze analogen Satzes gibt F. Lindemann, ”Über unendlich kleine Bewegungen und über Kraftsysteme bei allgemeiner projektivischer Maßbestimmung”. Math. Ann. 7 (1874), S. 75.
[7] A. Voß, Math. Ann. 13, S. 237.
[8] R. Sturm, Liniengeometrie I, S. 361–362, Math. Ann. 26, S. 490; 28, S. 271.
[9] Cremona, Ann. di Math. (1) I. (1858), S. 164, 278.–R. Sturm, Math. Ann. 26 (1886), S. 487 ff.–Th. Reye, Geometrie d. Lage. II., 2. Aufl., S. 220.
[10] Cayley, Quart. Journ. 7 (1866), Coll. Papers 5, S. 517.–Cremona, ”Sopra una certa curva gobba di quart’ordine”. Rend. del R. Ist. Lomb. (2) 1, 1868.–K. Rohn, Ber. Ges. d. Wiss., Leipzig 43 (1891), S. 6 ff., dort finden sich auch Realitätsbetrachtungen.
[11] Sie findet sich auch bei E. C. Colpitts ”On twisted quintic curves”. Am. J. 29 (1907). S. 336, 337. · JFM 38.0663.01
[12] Ebenda Sie findet sich auch bei. S. 324, 336–337. Die Bemerkung, die Knotenkurve der Torse hätte zwei Knotenpunkte, ist irrig. Sie muß ja ebenfalls eine Bahnkurve gleicher Art sein.
[13] Die ausgezeichnete Haupttangentenkurve Lies ist hier i. a. in zwei Bahnkurven zerfallen.
[14] Lie, ”Über Komplexe, insbesondere über Linien und Kugelkomplexe”. Math. Ann. 5, S. 179.–F. Klein, ”Über Liniengeometrie und metrische Geometrie”. Math. Ann. 5, S. 274.
[15] Füri=1 bereits G. Marletta bekannt ”Alcuni teoremi sulle curve razionali degli iperspazi”. Rend. circ. math. Palermo 25. (1908), S. 380. · JFM 39.0631.02
[16] Diese beiden letzten Formeln finden sich analytisch abgeleitet zuerst für beliebigesi bei H. Mohrmann, Rend. circ. math. Palermo 47 (1923), S. 190. · JFM 49.0489.03
[17] Sie liegen alle auf einer einzigen Wendelfläche.
[18] Abgesehen von der Gratlinie der Torse.
[19] R. Sturm, Liniengeometrie I, S. 52 ff.
[20] H. Mohrmann, ”Über die Haupttangentenkurven auf Netzflächen”. Math. Ann. 73 (1913), S. 571–595. · JFM 44.0716.01
[21] K. Rohn, ”Die verschiedenen Arten der Regelflächen 4. Ordnung”, Math. Ann. 28 (1887), S. 305. Ausführlicher hat sich mit ihr H. Mohrmann, ”Die Flächen vierter Ordnung mit kubischer Doppelkurve”. Math. Ann. 89 (1923), S. 13 ff., beschäftigt.
[22] Sie wurde zuerst von H. Mohrmann, Math. Ann. 89, S. 11. 20, entdeckt.
[23] H. Mohrmann, ”Über die Haupttangentenkurven auf Netzflächen”, Math. Ann. 73 (1913), S. 594. · JFM 44.0716.01
[24] H. Neudorfer, ”Konstruktion der Haupttangentenkurven auf Netzflächen”, Sitzungsber. Ak. Wien, Abt. II a, 134 (1925), S. 210. · JFM 51.0562.01
[25] S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen. III. Bd., S. 196. · JFM 12.0292.01
[26] Es ist das jene, die in demjenigen Gewinde des Gewindebüschels (g 1,g 2) enthalten ist, das die Erzeugendene enthält.
[27] Dieser Satz bildet den eigentlichen Inhalt der Dissertation von G. Frauenfelder, ”Büschel von Raumkurven 4. Ordnung II. Art mit zwei stationären Tangenten”, wiedergegeben in Monatsh. Math. Phys. 15 (1904), S. 299–314.
[28] A. Voß, ”Zur Theorie der windschiefen Flächen”. Math. Ann. 8 (1875), S. 94.
[29] Die Konstruktion ist die gleiche wie in Fußnote vor Satz 23.
[30] A. Voß, a. a. O. ”, S. 134.
[31] K. Rohn, ”Über die Flächen 4. Ordnung mit dreifachem Punkte”. Math. Ann. 24 (1884), S. 174. · JFM 16.0702.02
[32] Vgl. Satz 22.
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