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Sur les développantes d’une surface réglée. (French) JFM 57.0889.04
Bulletin Acad. Roumaine 14, 167-174 (1931).
Eine Regelfläche sei gegeben durch die von einem Parameter \(t\) abhängenden Plückerschen Koordinaten ihrer Erzeugenden \(p\). Verf. stellt nun an \(t\) die projektivinvariante Forderung, daß der Komplex \(p'''\) in Involution zu den Komplexen \(p\), \(p'\), \(p''\) liegen soll, oder, was dasselbe besagt: Der Proportionalitätsfaktor der \(p_{ik}\) und \(t\) sollen so bestimmt werden, daß \((p'p')=1\), \((p'' p'') = 0\) ist. Verf. zeigt, daß der Parameter hierdurch bis auf linear gebrochene Transformationen bestimmt ist. Das Doppelverhältnis von vier Erzeugenden läßt sich hiernach definieren als das der entsprechenden vier “projektiven Parameter”. Haben zwei Regelflächen eine Erzeugende gemeinsam, und ist die projektive Beziehung, die zwischen den Tangentialebenen der Regelfläche in den Punkten der gemeinsam Erzeugenden besteht, involutiv, so sagt Verf: Die zwei Regelflächen schneiden sich harmonisch. Der Begriff der Evolute einer Kurve wird mit Hilfe dieser Definition auf Regelflächen ausgedehnt: Aus jeder Lieschen Schmieg-\(F_2\) der Regelflächen wird eine Erzeugende \(\pi\) so herausgegriffen, daß die Regelfläche \(\pi(t)\) jede Lie-\(F_2\) harmonisch schneidet. Die Regelfläche \(\pi(t)\) heißt dann Evolvente der ursprünglichen Regelfläche. Analytisch läßt \(\pi(t)\) sich so darstellen: \[ \pi = p + (C - t)p'+\tfrac 12(C - t)^2p''; \] \(C =\) const, \(t =\) projektiver Parameter der Regelfläche. Hieraus folgt eine fundamentale Eigenschaft der Evolvente: Vier feste Evolventen schneiden eine veränderliche Lie-\(F_2\) unter festem Doppelverhältnis der vier Schnitterzeugenden. Verf. beweist zum Schluß den Satz, daß die Tangenten an die verschiedenen Erzeugenden in den Punkten, wo sie eine feste Lie-\(F_2\) treffen, alle demselben Komplex \(p'''\) angehören. (V 6 C.)
Reviewer: Knothe.