Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren. (German) JFM 57.1446.01

v. Neumann, J.

Math. Ann. 104, 570-578 (1931).

Es handelt sich um die Untersuchung der Frage, ob durch die Vertauschungsrelation \[ PQ-QP=\frac h{2\pi i}1, \] die beiden Hermiteschen Funktionaloperatoren \(P\) und \(Q\) im Hilbertschen Raum bis auf unitäre Transformationen eindeutig festgelegt sind. Im Anschluß an H. Weyl (Z. f. Physik 46 (1927), 1-46; F. d. M. 53, 848 (JFM 53.0848.02)) kann die Frage auch auf folgendes Problem reduziert werden: Die \(U(\alpha)\) und \(V(\beta)\) seien unitäre Operatoren, die meßbar von \(\alpha\), und \(\beta\) abhängen und die den Relationen \[ U(\alpha)U(\beta)=V(\alpha + \beta), \quad v(\alpha)V(\beta)=V(\alpha + \beta), \quad U(\alpha)V(\beta)=e^{i\alpha\beta} V(\beta)U(\alpha) \] genügen. Es sind alle derartigen Systeme zu bestimmen.
Es gelingt Verf., den Eindeutigkeitssatz zu beweisen, indem er sämtliche Lösungen der eben angegebenen Relationen (auch im reduziblen Fall) bestimmt.
Die Lösung gelingt durch Betrachten des Operators \[ A = \iint e^{-\frac 14\alpha^2-\frac 14\beta^2} S(\alpha,\beta)\,d\alpha\,d\beta \quad \text{wobei} \quad S(\alpha,\beta) = e^{-\frac 12i\alpha\beta}U(\alpha)V(\beta) \] gesetzt ist, und durch Untersuchung der Lösungen der Gleichung \(Af = 2\pi f\).

Reviewer: Schröder, K., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 7. Integralgleichungen. Funktionen von unendlich vielen Veränderlichen. Funktionalanalysis.

Citations:

JFM 53.0848.02

References:

[1]	Vgl. Born-Heisenberg-Jordan, Zeitschr. f. Phys.34 (1925), S. 858-888, ferner Dirac, Proc. Roy. Soc.109 (1925) u. f. Besonders in der letztgenannten Darstellung ist die Rolle dieser Relation fundamental. Einen interessanten Versuch zur Begründung des im folgenden zu diskutierenden Eindeutigkeitssatzes machte Jordan, Zeitschr. f. Phys.37 (1926), S. 383-386. Indessen beruht dieser auf Konvergenzannahmen über Potenzreihen unbeschränkter Operatoren, deren Gultigkeitsbereich fraglich ist.
[2]	Dieselbe bewirkt ein Ersetzen vonP, Q durchU P U ?1,U Q U ?1, wodurch weder der Hermitesche Charakter noch das Bestehen der Vertauschungsrelation berührt wird.
[3]	Vgl. Schrödinger, Annalen d. Phys.79 (1926), S. 734-756. · JFM 52.0967.02
[4]	Vgl. Weyl, Zeitschr. f. Phys.46 (1928), Seite 1-46.
[5]	Vgl. E. Schmidt, Rend. Circ. Mat. Palermo25 (1908), S. 57-73, ferner die Arbeit des Verf., Math. Annalen102 (1930), S. 49-131, an die die Bezeichnungsweise anlehnt. · JFM 39.0401.01
[6]	Vgl. auch a. a. O. Anm. 7) Math. Annalen102 (1930), S. 94, Anm. 52). · JFM 39.0401.01
[7]	Vgl. Frobenius, Berl. Ber. 1896 u. f., Peter und Weyl, Math. Annalen96 (1926), S. 737-755.