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Solution of the problem of Plateau. (English) JFM 57.1542.03
\(\varGamma \) sei eine Jordankurve im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum, \(\varSigma \) ein beliebiges hinreichend reguläres, von \(\varGamma \) berandetes einfach zusammenhängendes Flächenstück, \(S(\varSigma)\) sein Flächeninhalt. Das Plateausche Problem in seiner ursprünglichen Form verlangt den Beweis für die Existenz eines speziellen \(\varSigma =\varSigma ^{\ast}\) mit \(S(\varSigma ^{\ast})=\) Min. Bekanntlich führt der so unmittelbar vorgezeichnete Weg zur Lösung des Problems in hoffnungslose Schwierigkeiten, sei es, daß man ihn nach der Seite der klassischen Variationsrechnung, sei es nach der Seite der direkten Methoden beschreitet. Verf. schlägt daher einen nicht ganz naheliegenden Umweg ein, der indessen, wenn sein Grundgedanke einmal erkannt ist, durchaus klar vor Augen liegt, und, wie spätere Arbeiten desselben Verf. und anderer inzwischen erwiesen haben, zur Lösung viel allgemeinerer Typen des Plateauschen Problems führt.
Ist \(\mathfrak x(u, v)=(x_i(u, v))\) (\(i = 1\),…, \(n\)) eine im Einheitskreis \(u^2+v^2\leqq 1\) erklärte Vektorfunktion, durch die dessen Rand \(C\) umkehrbar eindeutig und stetig auf \(\varGamma \) abgebildet wird, so wird durch ihn ein Flächenstück \(\varSigma \) gegeben, und es ist \[ S(\varSigma )=S(\mathfrak x)= \underset{u^2+v^2\leqq 1}{\textstyle\int\!\!\int}\!\! \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv, \] wo \(E\), \(F\), \(G\) die übliche differentialgeometrische Bedeutung haben. Daneben betrachte man das von der speziellen Darstellung \(\mathfrak x\) von \(\varSigma \) abhängende Funktional \[ D(\mathfrak x)=\underset{u^2+v^2\leqq 1}{\textstyle\int\!\!\int}\!\! \tfrac{1}{2}\,(E+G)\,du\,dv \] (Dirichletschen Integral). Es ist \(S\leqq D\) und \(S = D\) dann und nur dann, wenn \[ E=G,\;F=0, \] also wenn \(\mathfrak x(u, v)\) eine konforme Abbildung des Einheitskreises auf \(\varSigma \) vermittelt. Nimmt man nun für die heuristischen Überlegungen an, daß jede zur Konkurrenz zugelassene Fläche \(\varSigma \) eine konforme Abbildung der genannten Art zuläßt, so folgt die Gleichung:
untere Grenze \(D(\mathfrak x) =\) untere Grenze \(S(\mathfrak x)\).
Man kann daher das Variationsproblem an das Funktional \(D(\mathfrak x)\) statt an \(S(\mathfrak x)\) anknüpfen. Da aber bekanntlich bei vorgegebenen Randwerten das Dirichletsche Integral sein Minimum für eine harmonische Funktion annimmt, so gilt \(D(H)\leqq D(\mathfrak x)\), wenn man den \(\varSigma \) darstellenden Vektor \(\mathfrak x(u, v)\) ersetzt durch den harmonischen Vektor \(H(u, v)\), der dieselbe Abbildung von \(C\) auf \(\varGamma \) vermittelt. Es genügt also, zur Konkurrenz in \(D(\mathfrak x)=\;\text{Min}\) nur “harmonische Flächen” zuzulassen; für eine solche ist aber \(D\) festgelegt durch die Abbildung \(g(\theta )\) von \(C\) auf \(\varGamma \!:x_i=g_i(\theta )\) (\(i=1\),…, \(n\); \(\theta \) Winkelargument auf \(C\)); der die Fläche darstellende Vektor wird durch das mit \(g(\theta )\) gebildete Poissonsche Integral geliefert. Man wird so auf das Variationsproblem geführt: Unter allen Darstellungen \(g(\theta )\) von \(\varGamma \) eine solche zu finden, die \(A(g)=D(H)\) zu einem Minimum macht, wenn \(H\) der zu den Randwerten \(g\) gehörige harmonische Vektor ist. Für \(A(g)\) wird ein expliziter Ausdruck angegeben.
Die Menge der Darstellungen \(g\) ist eine kompakte \(L\)-Menge im Sinne Fréchets, wenn man gewisse uneigentliche (nicht mehr umkehrbar eindeutige) und ausgeartete Darstellungen hinzunimmt; \(A(g)\) ist auf dieser Menge unterhalb stetig. In diesen beiden Tatsachen zusammen liegt der Vorteil der neuen Problemstellung gegenüber der ursprünglichen; nach einem bekannten Satz nimmt \(A(g)\) für ein gewisses \(g=g^{\ast}\) sein Minimum an, und wenn man die \(g\) durch eine passende lineare Transformation des Einheitskreises in sich normiert - \(A(g)\) bleibt dabei unverändert – so ist nicht schwer zu sehen, daß \(g^{\ast}\) eine eigentliche, d. h. umkehrbar eindeutige, Darstellung ist. Es bleibt noch der Nachweis zu führen, daß die harmonische Fläche mit diesen Randwerten eine Minimalfläche ist, d. h. daß gilt \[ \varSigma \bigl(F_i^\prime(w)\bigr)^2=0,\;\;\text{wenn}\;\;H=(H_i), H_i=\mathfrak RF_i(w), w=u+iv. \] Das folgt aus der Minimumseigenschaft von \(A(g^{\ast})\), indem man \(g^{\ast}\) gewissen speziellen Variationen unterwirft. Die diesbezüglichen Rechnungen sind zwar etwas langwierig, aber durchaus elementar.
Seither war stillschweigend die Existenz eines \(g\) mit \(A(g)<\infty \) vorausgesetzt worden (dazu ist hinreichend, aber nicht notwendig, daß \(\varGamma \) rektifizierbar ist). Ist \(A(g)\equiv \infty \), so kommt man zum Ziel, indem man \(\varGamma \) durch geeignete rektifizierbare Kurven approximiert.
Verf. hebt hervor, daß seine Lösung des Plateauschen Problems einen Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes zusammen mit dem Osgood-Carathéodoryschen Satz von der Stetigkeit der Abbildung auf dem Rand bei Stetigkeit der Randkurve enthält, wenn man nämlich \(\varGamma \) zu einer ebenen Kurve spezialisiert.
Endlich wird noch gezeigt, daß die gewonnene Lösung (bei \(A(g)\not\equiv \infty \)) auch ein Minimum für den Flächeninhalt liefert. Für diesen Beweis ist allerdings der Satz von der konformen Abbildbarkeit einer einfach zusammenhängenden Polyederfläche auf den Einheitskreis erforderlich.

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