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A rule of signs involving certain orthogonal polynomials. (English) JFM 58.0112.02
Eine Regel über die Anzahl der reellen Nullstellen eines Polynoms mit Hilfe der Entwicklung nach Legendreschen Polynomen, die von Laguerre (Werke t. I (1898; F. d. M. 29, 9 (JFM 29.0009.*)), p. 144-146) herrührt, wird auf die Entwicklung nach Jacobischen, Laguerreschen und Hermiteschen Polynomen übertragen (die gemeinsam mit \(P_n\) bezeichnet seien): Es sei \[ F(x) = \lambda _0 P_0(x)+\cdots +\lambda _n P_n(x) \] die Entwicklung des reellen Polynoms \(F(x)\) im Intervall \((a, b)\); dann ist die Anzahl der reellen Nullstellen von \(F(x)\), die \(\geqq b\) (mit endlichem \(b\)) sind, nicht größer als die Anzahl der Zeichenwechsel der \(\lambda \). Der Beweis folgt wie bei Laguerre mit Hilfe der Differentialgleichung der \(P_n\) durch Induktion. Als Korollar ergibt sich der Lückensatz.

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