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Allgemeine Bewertungstheorie. (German) JFM 58.0148.02

Verf. verallgemeinert den Begriff der gewöhnlichen “speziellen” unarchimedischen Bewertungen eines Körpers \(\mathfrak K\) dahin, daß als Werte nicht nur reelle Zahlen, sondern die Elemente einer ganz beliebigen geordneten abelschen Gruppe \(\varGamma \) mit der Addition als Verknüpfungsrelation und der Null als Einheitselement zugelassen werden. Die von Krull neu eingeführte allgemeine Bewertung \(B\) von \(\mathfrak K\) mit der Wertgruppe \(\varGamma \) liegt vor, wenn jedem Element \(a\neq 0\) aus \(\mathfrak K\) eindeutig ein Element \(\alpha =w(a)\) aus \(\varGamma \) als Wert mit folgenden Bedingungen zugeordnet ist: 1) \(w(a\cdot b)=w(a)+w(b)\), 2) \(w(a+b)\geqq \min (w(a),w(b))\), 3) zu jedem \(\alpha \) aus \(\varGamma \) gibt es ein \(a\) aus \(\mathfrak K\), so daß \(\alpha =w(a)\). Für jede vorgegebene linear geordnete Gruppe \(\varGamma \) existieren stets Körper, die eine Bewertung \(B\) mit der Wertgruppe \(\varGamma \) besitzen. Zur allgemeinen Bewertung \(B\) gehört ebenso wie zu den früheren speziellen Bewertungen ein Bewertungsring \(\mathfrak B\) von \(\mathfrak K\), der von dem Nullelement und der Gesamtheit der Elemente \(a\), die in \(B\) von \(\mathfrak K\) positive Werte be sitzen, gebildet wird. Ein echter Unterring \(\mathfrak B\) von \(\mathfrak K\) kann dann und nur dann Bewertungsring sein, wenn \(\mathfrak K\) Quotientenkörper von \(\mathfrak B\) ist, und wenn in \(\mathfrak B\) von zwei Elementen \(a_1\) und \(a_2\) stets (mindestens) eines durch das andere teilbar ist. In ähnlicher Weise, wie vom Verf. früher (W. Krull, M. Z. 31 (1930), 527-557; JFM 56.0140.*) die Idealtheorie bei speziellen Bewertungen, die sich aus der allgemeinen Bewertungstheorie dadurch ergeben, daß die Wertgruppe \(\varGamma \) archimedisch, also zu einer reellen Zahlgruppe isomorph ist, behandelt wurde, läßt sich auch die Idealtheorie der Bewertung sringe im allgemeinen Fall durchführen. Während in einem Bewertungsring mit archimedischer Wertgruppe nur ein einziges Primideal existiert, trifft dies bei beliebigem \(\varGamma \) nicht zu, weil die Primideale von \(\mathfrak B\) eindeutig umkehrbar den sogenannten “isolierten” Untergruppen von \(\varGamma \) entsprechen und im archimedischen Fall die isolierten Untergruppen mit der Nullgruppe erschöpft sind. In die allgemeine Bewertungstheorie kann auch der Perfektheitsbegriff eingerührt werden, und zwar durch Auflösen einer vorgelegten allgemeinen Bewertung in eine geordnete Kette von speziellen Bewertungen. Mittels des von F. K. Schmidt stammenden Hilfsbegriffs der “maximal” bewerteten Körper läßt sich, was aber nicht so einfach wie bei speziell bewerteten Körpern ist, zeigen, daß jeder bewertete Körper ohne Änderung der Wertgruppe und ohne Änderung des durch die Bewertung definierten “Restklassenkörpers” zu einem perfekt bewerteten Körper erweitert werden kann. Untersucht werden noch die normalen Erweiterungen perfekt sowie beliebig bewerteter Körper. Bei einer beliebigen normalen Erweiterung \(\tilde \mathfrak K\) des beliebig bewerteten Körpers \(\mathfrak K\) treten beim Aufbau von \(\tilde \mathfrak K\) über \(\mathfrak K\) im allgemeinen mehrere Serien von Verzweigungskörpern auf. Die hier vorliegenden Untersuchungen erweisen sich auch als wertvoll für die durch E. Artin und O. Schreier (1926; F. d. M. 52, 120 (JFM 52.0120.*)) abstrakt definierten allgemeinen reellen Körper sowie für die Ergebnisse von H. Hahn (1907; F. d. M. 38, 501 (JFM 38.0501.*)) und R. Baer (Sitzungsberichte Heidelberg 1927, Nr. 8; F. d. M. 53, 118 (JFM 53.0118.*)).

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