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Vorlesungen über Fouriersche Integrale. (German) JFM 58.0292.01
VIII+244 S. 9 Abb. Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft (Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern, Bd. 12. ) (1932).
Kap. I behandelt grundlegende Eigenschaften der bestimmten trigonometrischen Integrale \[ \int f(x)\cos \alpha xdx, \quad \int f(x)\sin \alpha xdx, \quad \int f(x)e^{i_{\alpha }x}dx. \] §§1-3 behandeln die Konvergenz der Integrale (im Falle unendlicher Grenzen) sowie ihr Verhalten für \(\alpha \to \infty \). §4 behandelt trigonometrische Integrale, die gleichmäßig in bezung auf einen Parameter Konvergieren, und §5 den Cauchyschen Hauptwert.
Kap. II (Darstellungs- und Summenformeln) beginnt in §6 mit der Aufstellung hinreichender Bedingungen dafür, daß die Funktionen \[ \int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left ( x+\frac {\xi }{n}\right ) K(\xi )d\xi =n\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\xi )K(n(\xi -x))d\xi \] für \(n\to \infty \) gegen \[ f(x+0)\int \limits _{0}^{\infty }K(\xi )d\xi +f(x-0)\int \limits _{-\infty }^{0}K(\xi )d\xi \tag{*} \] konvergieren und gibt die anwendung auf Kerne \(K(\xi )=\dfrac {1}{\pi }\left ( \dfrac {\sin \xi }{\xi }\right ) ^p\) für \(p>1\). §7 (Das Dirichletsche Integral und verwandte Integrale) beschäftigt sich mit dem Fall \(K(\xi )=\dfrac {\sin \xi }{\xi ^p}\) für \(0<p\leqq 1\), der nicht unter das Kriterium des §6 fällt. §8 gibt hinreichende Bedingungen für das Bestehen der Fourierschen Integralformel \[ \frac 12\{ f(x+0)+f(x-0)\} =\lim \limits _{n\to \infty }\frac {1}{\pi } \int \limits _{-\infty }^{\infty } f(\xi )\frac {\sin n(\xi -x)}{\xi -x}d\xi. \] §9 beschäftigt sich mit der Wienerschen Formel \[ \lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{\infty } f\left ( \frac {x}{n}\right ) K(x)dx= {\mathfrak M}(f)\int \limits _{0}^{\infty }K(x)dx, \] wobei \[ {\mathfrak M}(f)=\lim \limits _{x\to \infty }\frac {1}{x} \int \limits _{0}^{x}f(\xi )d\xi, \] und §10 mit der Poissonschen Summationsformel.
Kap. III (Das Fouriersche Intrgraltheorem) beginnt in §11 mit Kriterien für die Gültigkeit dieses Theorems (Fouriersches Doppelintegral) und der sogenannten Inversionsformeln. §12 gibt Anwendungen auf trigonometrische Integrale mit \(e^{-x}\); §13 behandelt für die Klasse \({\mathfrak F_0}\) der in \((-\infty,+\infty )\) absolut integrierbaren Funktionen die Faltungssätze sowie die Beziehungen der Funktionen aus \({\mathfrak F_0}\) zur Klasse \({\mathfrak T_0}\) ihrer (Fourier-)Transformierten, so insbesondere die Frage der umkehrbaren Eindeutigkeit dieser Beziechung. Ferner wird eine mit einem sehr allgemeinen konvergenzerzeugenden Faktor “summierte” Form des Fourierschen Integraltheorems angegeben, die für alle Funktionen aus \({\mathfrak F_0}\) gültig ist. §§14-18 behandeln trigonometrische Integrale mit rationalen Funktionen, mit \(e^{-x^2}\), Besselschen Funktionen und die Auswertung gewisser mehrfacher Integrale.
Kap. IV (Stieltjessche Integrale) behandelt die Funktionenklasse \({\mathfrak P}\), d. h. die Klasse der Funktionen \[ f(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{i_{\alpha }x}dV(\alpha ), \tag{**} \] wo die “Verteilungsfunktion” \(V(\alpha )\) beschränkt und monoton wachsend ist und der Relation \(\dfrac 12\{ V(\alpha +0)+V(\alpha -0)\} =V(\alpha )\) genügt. In §18 werden zunächst die Haupteigenschaften der Stieltjes-Integrale ohne Beweis zusammengestellt und weiterhin eine Umkehrformel zu (**) gegeben, aus der sich als Folge die eindeutige Bestimmtheit von \(V\) durch \(f\) ergibt. In §19 (Folgen von Funktionen aus \({\mathfrak P}\)) dreht es sich um die Frage, wann man aus der Konvergenz einer Folge von Verteilungsfunktionen \(V_n\) auf die Konvergenz der nach (**) zugehörigen \(f_n\), und wann aus der Konvergenz einer Folge \(f_n\) auf die der zugehörigen \(V_n\) schließen kann. In §20 wird gezeigt, daß die Klasse \({\mathfrak P}\) identisch ist mit der Klasse der “positiv definiten” Funktionen, d. h. derjenigen stetigen, in \((-\infty,+\infty )\) beschränkten Funktionen \(f(x)\), für die \(\overline {f(-x)}=f(x)\) und \[ \sum \limits _{\mu =1}^{m}\sum \limits _{\nu =1}^{m} f(x_{\mu }-x_{\nu })\varrho _{\mu }\bar {\varrho _{\nu }}\geqq 0 \] bei beliebiger Wahl von \(x_1,\cdots,x_m\) und \(\varrho _1,\cdots,\varrho _m \quad (m=1, 2,\cdots )\) gilt. In §21 wird für Funktionen (**) die Gleichung \({\mathfrak M}\{f(x)e^{-i\lambda x}\}=V(\lambda +0)-V(\lambda -0)\) bewiesen, ein Kriterium für das Bestehen der Parsevalschen Relation gegeben und letztere für die fastperiodischen Funktionen bewiesen.
Kap. V (und die entsprechenden Teile von Kap. VI), das,wie Verf. bemerkt, durch eine Arbeit von N. Wiener (1926; F. d. M. 52, 416 (JFM 52.0416.*)) angeregt wurde, behandelt die “symbolische” Lösung von Differenzen-Differentialgleichungen der Form \[ \Lambda (y)\equiv \sum \limits _{\varrho =0}^{r} \sum \limits _{\sigma =0}^{s} a_{\varrho \sigma } \frac {\partial ^{\varrho }y(x+\delta \sigma )}{\partial x^{\varrho }} =f(x). \tag{***} \] Dabei werden im Kap. V nur solche Lösungen in Betracht gezogen, die mitsamt ihren \(r\) ersten Ableitungen in \((-\infty,\infty )\) absolut integrierbar sind. Die Fouriertransformierte \(\varphi (\alpha )\) von \(y(x)\) genügt dann der “Operatorgleichung” \(G(\alpha )\varphi (\alpha )=E(\alpha )\), in der \(E(\alpha )\) die Fouriertransformierte von \(f(x)\) und \(G(\alpha )=\sum \limits _{\varrho =0}^{r}\sum \limits _{\sigma =0}^{s} a_{\varrho \sigma }(i\alpha )^{\varrho }e^{i\delta \sigma \alpha }\) ist. In §22 wird die Fragestellung besprochen. §23 enthält die für die Lösungsmethode grundlegende Theorie der “Multiplikatoren”, d. h. derjenigen in \((-\infty,\infty )\) stetigen Funktionen \(\varGamma (\alpha )\), für die aus \(E(\alpha )\in {\mathfrak T_0}\) wieder \(\varGamma (\alpha )\cdot E(\alpha )\in {\mathfrak T_0}\) folgt. §24 behandelt die Frage, wann die “Darstellung” \[ f(x) \sim \int \limits _{-\infty }^{\infty }E(\alpha )e^{i_{\lambda }x}dx, \] die besagt, daß \(E(\alpha )\) die Fourier-Transformierte von \(f(x)\) ist, nach den formalen Regeln differenziert bzw. integriert werden darf. In §25 schließlich werden auf Grund der Ergebnisse der vorangegangenen §§ Kriterien für die Lösbarkeit der Gleichung (***), bzw. gewisser Spezialfälle dieser Gleichung gegeben. §26 behandelt in entsprechender Weise die Integralgleichung \[ \lambda y(x)-\frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\infty }^{\infty }K(\xi ) y(x-\xi )d\xi =f(x) \] und §27 Systeme von Differentialgleichungen.
Gegenstand von Kap. VI ist die Verallgemeinerung eines Teils der vorangegangenen für Funktionen aus \({\mathfrak T_0}\) gültigen Betrachtungen (insbesondere der des Kap. V) auf Funktionen aus allgemeineren Funktionenklassen \({\mathfrak F_k} \quad (k=1, 2,\cdots )\) bzw. \(\mathfrak F\). Es möge die Angabe der folgenden beiden Definitionen genügen: \(f(x)\) gehört zu \({\mathfrak F_k}\), wenn \[ \int \limits _{-\infty }^{\infty } \frac {| f(x)| }{1+| x| ^k}dx<\infty, \] und zu \({\mathfrak F}\), wenn \(f\) irgend einem \({\mathfrak F_k}\) angehört; ist ferner \(L_k(\alpha,x)=0\) für \(| x| >1\) und sonst gleich der Summe der \(k\) ersten Glieder in der Entwicklung von \(e^{-i_{\alpha }x}\), so wird in Verallgemeinerung des Begriffs de Fouriertransformierten als \(k\)-Transformierte einer Funktion \(f\) aus \({\mathfrak F_k}\) die bis auf Polynome \((k-1)\)-ten Grades bestimmte Funktion definiert, die mit \[ \frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\infty }^{\infty } f(x)\frac {e^{-i_{\alpha }x}-L_k(\alpha,x)}{(-ix)^k}dx \] bis auf ein Polynom höchstens \((k-1)\)-ten Grades übereinstimmt.
Kap. VII (Analytische und harmonische funktionen) beginnt (§35) mit der Besprechung einiger grundlegender Eingenschaften Laplacescher Integrale analytischer Funktionen. §36 behandelt die Faltung Laplacescher Integrale und §37 die Dartellung durch Laplacesche Integrale von gegebenen “analytischen Funktionen aus \({\mathfrak F_k}\)”, d. h. solchen analytischen Funktionen \(f(\sigma +it)\), die als Funktion von \(t\) “gleichmäßig in \(\sigma \)” zu \({\mathfrak F_k}\) gehören. In §38 werden “harmonische Funktionen \(u(\sigma,t)\) aus \({\mathfrak F_k}\)” bzw. \({\mathfrak F}\) eingeführt (die Definition ist entsprechend wie bei analytischen Funktionen), und in §39 Randwertaufgaben für solche Funktionen bezüglich eines Streifens \(\lambda \leqq \sigma \leqq \mu \), insbesondere Eindeutigkeitsfragen, behandelt.
Kap. VII (Quadratische Integrierbarkeit) behandelt in §40 die Parsevalsche gleichung für Funktionen, die in \((-\infty,\infty )\) quadratisch integrierbar sind, und in §41 die Plancherelschen Sätze für die gleiche Funktionenklasse. §42 ist den entsprechenden Sätzen bei Hankelschen Integralen gewidmet.
Kap. IX (Funktionen von mehreren Veränderlichen) beginnt in §43 mit der Besprechung allgemeiner Eigenschaften trigonometrischer Integrale mit absolut integrierbaren Funktionen mehrerer Veränderlichen und dem Beweis der Faltungsregeln. §44 (Das Fouriersche Integraltheorem) bringt hinreichende Bedingungen für das Bestehen der der Relation (*) entsprechenden Limesrelation bei mehrern Veränderlichen, ferner Kriterien für die Gültigkeit der Umkehrformeln, der Bestimmtheit einer Funktion durch ihre Transformierte, schließlich (ohne Ausführung des Beweises) die Behauptung der Gültigkeit der Plancherelschen Sätze. §45 behandelt die mit der Verallgemeinerung des Dirichletschen Integrals zusammenhängenden Fragen und §46 die Poissonsche Summationsformel.
Als Anhang folgt ein kurzer Abriß über das (im Buche durchgehend verwendete) Lebesguesche Integral, der im Anschluß an das Buch von Carathéodory (1927; F. d. M. 53, 225 (JFM 53.0225.*)) und größtenteils ohne Beweise gegeben wird. Ein ausführliches Literaturverzeichnis beschließt das Buch.
Wie aus dem Vorstehenden hervorgeht, bringt das Buch, welches soweit Ref. bekannt, das erste über seinen Gegenstand ist, neben den grundlegenden klassischen Eigenschaften der trigonometrischen Integrale auch zahlreiche Ergebnisse moderner Untersuchungen (die zum Teil von Verf. selbst herrühren). Bei der großen Fülle der einschlägigen Literatur mußte jedoch eine Auswahl getroffen werden; so fehlt z. B. die Theorie der trigonometrischen Integrale mit Funktionen, deren \(p\)-te Potenz integrierbar ist für \(p>2\). Vielfach wurde die Auswahl im Sinne der Anwendungen getroffen (vgl. z. B. Kap. IV, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kap. V, VI Operatorenrechnung). Trotzdem dürfte sich das klar geschriebene Buch den Anforderungen nach, die es an den Leser stellt, in erster Linie an den reinen Mathematiker richten.
Andere Besprechungen: Tamarkin, Zentralblatt f. Math. 6 (1933), 110; Doetsch Jahresbericht d. D. M. V. 45 (1935), 139 kursiv. In ersterer findet man auch einige kritische Bemerkungen bezüglich einiger Einzelheiten. (IV 7. )