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Über positive harmonische Entwicklungen und typischreelle Potenzreihen. (German) JFM 58.0305.01

In dieser, an interessanten Einzelbemerkungen ungewöhnlich reichhaltigen Arbeit wird in der Hauptsache die Klasse \(\mathfrak J\) der in \(|z| < 1\) konvergenten Potenzreihen \[ f(z) = z + \sum _{n=2}^{\infty } a_n z^n \quad \text{mit reellen} \quad a_n (1) \] behandelt, die in \(|z|<1\) nur für die reellen \(z\) reellwertig sind und als in \(|z|<1\) typischreell bezeichnet werden.
Ist \(\mathfrak {R}'\) die Klasse der in \(|z| < 1\) konvergenten Potenzreihen \[ \varphi (z) = 1 + \sum _{n=1}^{\infty } \alpha _n z^n \quad \text{mit reellen} \quad \alpha _n \,. (2) \] die in \(|z|<1\) einen positiven Realteil haben (eine Unterklasse der besonders von Carathéodory (1911; F. d. M. 42, 429 (JFM 42.0429.*)) untersuchten Klasse \(\mathfrak R\) aller in \(|z| < 1\) konvergenten Potenzreihen \(1+\sum A_nz^n\) mit positivem Realteil), so entspricht vermöge \[ \varphi (z) = f(z) \frac {1-z^2}{z} (3) \] jedem \(f(z)\) aus \(\mathfrak J\) ein \(\varphi (z)\) aus \(\mathfrak {R}'\) und umgekehrt.
Im ersten Abschnitt werden nun die wichtigsten Tatsachen zusammengestellt, die über die Klasse \(\mathfrak R\) bekannt sind, viele neue hinzugefügt und entsprechende Feststellungen über die Klasse \(\mathfrak {R}'\) gemacht.
Im zweiten Abschnitt wird dann, teils auf Grund des Zusammenhanges (3), teils durch direkte Betrachtungen, eine Fülle von Einzelergebnissen über die Reihen \(f(z)\) aus \(\mathfrak J\), über ihre Abschnitte bzw. über die in \(0 \leq r <1\), \(0 < \varphi < \pi \) positiven harmonischen Sinusentwicklungen \[ \nu (r, \varphi ) = \sum _{n=1}^{\infty } a_n r^n \sin n \varphi \quad (a_1 = 1) (4) \] gewonnen. Es seien die folgenden hervorgehoben:
1) Für \(n \geq 2\) heiße der Punkt \(P_n = (a_2, a_3, \dots. a_n)\) des \((n-1)\)-dimensionalen Raumes der \(n\)-te Repräsentant von \(f(z)\). \(P_n\) liegt in der abgeschlossenen konvexen Hülle \(K_n\) der Kurve \[ \frac {\sin 2 \vartheta }{\sin \vartheta }. \frac {\sin 3 \vartheta }{\sin \vartheta }. \dots. \frac {\sin n \vartheta }{\sin \vartheta } \quad (0 \leq \vartheta \leq \pi ). \]
2) Die Potenzreihe (1) gehört genau dann zu \(\mathfrak J\), wenn für jedes \(n \geq 2\) der \(n\)-te Repräsentant in \(K_n\) liegt.
3) Durch \[ f_u(z) = f(z^2) \frac {1 + z^2}{z} \] wird jeder Funktion \(f(z)\) aus \(\mathfrak J\) eine ungerade Funktion \(f_u (z)\) aus \(\mathfrak J\) zugeordnet und umgekehrt.
4) Ist \(\mathfrak L (r)\) die Länge des Bildes von \(|z| = r <1\) durch ein \(f(z)\) aus \(\mathfrak J\), \(\mathfrak L^*(r)\) die Länge desjenigen durch \(\frac {z}{(1 \pm z)^2}\), so gilt stets \(\mathfrak L (r) \leq \mathfrak L^* (r)\).
5) Bei gegebenen beliebigen komplexen \(\lambda _n\) sei \[ \mathfrak L (\vartheta ) = \sum _2^{\infty } \lambda _n \frac {\sin n \vartheta }{\sin \vartheta } \] für alle \(\vartheta \) gleichmäßig konvergent. Dann ist \(\mathfrak L = \sum \lambda _n a_n\) für die Koeffizienten \(a_n\) eines jeden \(f(z)\) aus \(\mathfrak J\) konvergent, und \(\mathfrak L\) liegt in der abgeschlossenen konvexen Hülle der Kurve \(\mathfrak L (\vartheta )\). Jeder solche \(\mathfrak L\)-Wert wird für ein geeignetes \(f(z)\) auch wirklich angenommen. - Durch Spezialisierung der \(\lambda _n\) ergibt sich hieraus weiter eine Fülle interessanter Einzelheiten, z. B. \[ \begin{aligned} 1 + a_3 + \dots + a_{2n+1} \geq 0, \quad & 1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1} + \frac {a_n}{2} \geq 0 \,. \\ n + (n-1) a_2 + \dots + a_n \geq 0, \quad & 1 + \frac {a_2}{2} + \frac {a_3}{3} + \dots + \frac {a_n}{n} \geq 0 \,. \text{u.s.w.} \end{aligned} \]
6) Es ist \(\lim \limits _{x \to 1-0} f(x) \geq \frac {1}{4}\), \(\lim \limits _{x \to 1-0} f_u(x) \geq \frac {1}{2}\).
7) Die Abschnitte eines in \(|z| < 1\) typisch-reellen \(f(z)\) sind in \(|z| \leq \frac {1}{4}\) typisch reell. Dabei ist \(\frac {1}{4}\) die beste Konstante.
8) Für die unterklasse \(\mathfrak J_s\) der schlichten Funktionen aus \(\mathfrak J\) lassen sich noch genauere Aussagen machen.

Citations:

JFM 42.0429.*
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