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Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore. (French) JFM 58.1124.04
Auf der Torusoberfläche (Koordinaten \(\varphi,\vartheta \)) wird eine Differentialgleichung \[ \frac {d\vartheta }{d\varphi }= A(\varphi,\vartheta ) \tag{1} \] betrachtet, bei der die in \(\varphi \) und \(\vartheta \) periodische Funktion \(A\) auf der ganzen Oberfläche stetig sei und einer Lipschitzbedingung \[ |A(\varphi,\vartheta ')-A(\varphi,\vartheta )|<K|\vartheta '-\vartheta | \] genüge mit einem \(K\), das von \(\varphi,\vartheta \) und \(\vartheta '\) unabhängig ist. Durch jeden Punkt \(\varphi _0,\vartheta _0\) geht also genau eine Integralkurve. Verf. entwickelt noch einmal unter diesen geringen Voraussetzungen die Poincarésche Theorie der Verteilung der Treffpunkte einer Integralkurve mit einem vorgegebenem Meridian auf dem Torus.
Der vorgegebene Meridian sei durch den Winkel \(\varphi _0\) gegeben. Die durch die Punkte \((\varphi _0,\vartheta _0)\) bei festem \(\varphi _0\) und variablem \(\vartheta _0\) gehenden Bahnkurven seien durch \[ \vartheta =u(\varphi,\vartheta _0) \tag{2} \] bezeichnet. Für irgend eine ganze Zahl \(n\) sei \[ \vartheta _n=u(\varphi _0+2n\pi,\vartheta _0) \] Maximum und Minimum der stetigen Funktionen in \(\vartheta _0\): \[ \psi _n(\vartheta _0)=\vartheta _n-\vartheta _0 \] seien mit \(n\beta _n\) und \(n\gamma _n\) bezeichnet. Es zeigt sich, daß die \(\beta _n\) und \(\gamma _n\) für \(n\rightarrow \infty \) einen gemeinsamen Grenzwert \(2\pi \alpha \) haben.
Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Bahnkurve (2) ein Zykel d. h. eine einfach geschlossene Kurve ist, ist ein rationaler Wert von \(\alpha \).
Hauptziel der Arbeit ist der Beweis folgenden Satzes: Hat man neben den obengenannten Voraussetzungen über \(A\) noch die Bedingung, daß die totale Variation der Funktion \(\frac {\partial A}{\partial \vartheta }(\varphi,\vartheta )\) in \(\vartheta \) gleichmäßig beschränkt ist (das ist z. B. der Fall, wenn \(\frac {\partial ^2 A}{\partial \vartheta ^2}\) stetig ist), so schneiden im Falle eines irrationalen \(\alpha \) die Integralkurven von (1) jeden Meridian in einer überall dichten Menge. Damit ist ein nach Poincaré noch möglicherweise auftretender Sonderfall für die Verteilung dieser Schnittpunkte bei sehr schwachen Voraussetzungen ausgeschlossen.

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Full Text: EuDML