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Class field theory. (Klassenkörpertheorie.) (German) JFM 59.0189.03
Ausarbeitung einer Vorlesung vom Sommersemester 1932 und eines Teiles der Fortsetzung vom Wintersemester 1932/33 an der Universität Marburg von Wolfgang Franz unter Mitwirkung von Lotte Elsner und Waldemar Kirsten. xiii, 229 S. Marburg, Verf. (1933).
Die Vorlesung beginnt mit einem Abriß der Galois-Theorie, insbesondere der zahlentheoretisch wichtigen Galois-Untergruppen: Zerlegungsgruppe, Trägheitsgruppe, Verzweigungsgruppen; Begriff der zu einem Primideal gehörigen Substitution. Der dann folgende Aufbau der Klassenkörpertheorie ist nach den beanspruchten, sich scharf voneinander abhebenden Hilfsmitteln in einen analytischen und einen arithmetischen Teil gegliedert.
Nach Einführung des für die Klassenkörper grundlegenden Begriffs der Idealgruppe werden erst die analytischen Hilfsmittel (\(L\)-Reihen) zusammengestellt, die schon den Satz von der arithmetischen Progression liefern, ferner, daß die einem Relativkörper \(n\)-ten Grades im Grundkörper zugeordnete Idealgruppe höchstens den Index \(n\) hat. Jetzt läßt sich als Klassenkörper ein solcher Relativkörper charakterisieren, bei dem dieser Index genau \(n\) ist. Es werden mehrere praktisch brauchbare Charakterisierungen des Klassenkörperbegriffs gegeben, die Hauptsätze der Klassenkörpertheorie einschließlich Reziprozitätsgesetz angeführt und von diesen die rein körpertheoretisch durchführbaren gleich bewiesen.
Im arithmetischen Teil wird durch Betrachtung der Indices mannigfacher Zahl- und Idealgruppen im Grund- und Relativkörper gezeigt, daß beim relativ-zyklischen und dann auch beim relativ-abelschen Körper die zugeordnete Idealgruppe mindestens den Index \(n\) hat, ein solcher Körper also Klassenkörper ist (Umkehrsatz), und daß der Führer nur verzweigte Primstellen enthält. Es folgt der Beweis vom Zerlegungsgesetz, Isomorphiesatz und Reziprozitätsgesetz. Um auch den Existenzsatz zu beweisen und, daß der Führer auch alle verzweigten Primstellen enthält, werden, wie üblich, die \(n\)-ten Einheitswurzeln adjungiert. Schließlich wird die Führer-Diskriminantenformel durch Betrachtung der Normenreste und ihre Beziehungen zu den höheren Verzweigungsgruppen gewonnen.
Ein Anhang bringt noch den Dirichletschen Einheitensatz, ferner den Minkowskischen, daß im absoluten Normalkörper ein vollständiges System von unabhängigen Einheiten aus konjugierten gebildet werden kann, und eine weitgehende Verallgemeinerung diese Satzes von Herbrand für relative Normalkörper, die oben die Abschätzung von Einheitenindices erleichterte. (III 5.)

MSC:
11R37 Class field theory
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory