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Note zur analytischen hyperkomplexen Zahlentheorie. (German) JFM 59.0212.02

Die \(\zeta \)-Funktion in einer Divisionsalgebra war von K. Hey in ihrer Dissertation (Hamburg 1929; F. d. M. \(56_{\text{II}}\)) definiert worden: \[ \zeta (s) = \sum \frac 1{Na^s}, \] wo \(a\) alle von Null verschiedenen Rechtsideale einer Maximalordnung der Divisionsalgebra durchläuft. Diese \(\zeta \)-Funktion läßt sich aus der \(\zeta \)-Funktion des Zentrums und dem Verzweigungsverhalten der Primideale des Zentrums in der Divisionsalgebra berechnen; sie hängt nicht von der zur Definiton zugrunde gelegten Maximalordnung ab und kann auch mit Linksidealen definiert werden; zwischen 0 und 1 ist sie regulär. Daraus hatte K. Hey den inkorrekten Schluß gezogen, daß endliche Verzweigungsstellen vorhanden sein müßten: Verf. korrigiert hier das Beweisverfahren. Es ergibt sich so ohne Klassenkörpertheorie, daß eine Divisionsalgebra vom Grade \(g>1\) über ihrem Zentrum verzweigt ist; im Fall des Quaternionenkörpers ergibt sich überdies das allgemeine quadratische Reziprozitätsgesetz in der Produktform. (III 5.)

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