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Sopra una proposizione relativa alla crescenza delle funzioni olomorfe. (Italian) JFM 59.0328.03

Es sei \(F(z)\) in \(\alpha \leqq \arg z\leqq \beta \) regulär und von endlicher Ordnung \(\varrho \). Dann gibt es ein \(\varrho (r)\)-verbesserte Ordnung von \(F(z)\) -mit \[ \begin{gathered} \lim \limits _{r\to \infty }\varrho (r)=\varrho >0, \quad \lim \limits _{r\to \infty }\varrho '(r)r\log r=0,\\ \underset {r\to \infty } {\lim \sup }\frac {\log M(r)}{r^{\varrho (r)}}=1, \quad M(r)=\underset {\alpha \leqq \varphi \leqq \beta } {\text{Max}}\log | F(re^{i\varphi })|. \end{gathered} \] Es sei \[ h(\varphi )=\underset {r\to \infty } {\lim \sup }\log \frac {| F(re^{i\varphi })| }{r^{\varrho (r)}}. \] Weiter seien zwei genügend kleine positive Zahlen \(\varepsilon,\omega \) gegeben. Zu ihnen gehört ein \(\delta (\varepsilon,\omega )\) und auf jeder Halbgeraden \(\arg z=\varphi,\alpha \leqq \varphi \leqq \beta \) eine Intervallfolge \[ r_k\leqq | z| \leqq r_k(1+\delta ) \quad (k=1,2,\cdots ), \quad \lim \limits _{k\to 0}r_k=\infty, \] mit folgender Eingenschaft: Die Menge der Punkte jener Intervalle, in denen \[ \log | F(re^{i\varphi })| > [h(\varphi )-\varepsilon ]r^{\varrho (r)} \] ist, hat eine mittlere Dichte größer als \(1-\omega \).
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Full Text: EuDML